数学狂想曲（八）——核弹当量问题, Lanchester战争模型, 随机过程

核弹当量问题

核弹爆炸由于是个复杂的过程，因此就有了爆炸火球半径、辐射半径、冲击波半径以及热辐射半径等不同的威力评价标准。

具体的介绍可参见：

https://www.zhihu.com/question/20134458

一颗核弹的破坏性有多大？

这里给出几组数据：

名称	当量	火球半径	冲击波半径
1945年胖子	20kt	200m	1.91km
1966年B61	340kt	630m	4.91km
1986年W87	300kt	600m	4.71km

“另外再帮你算算哦，把B61的34万和胖子的2万都开根号，两者比值是4.11，然而，胖子的火球半径200米乘4.1貌似是820米，怎么B61才630米呢？5psi的冲击波半径1.91千米乘4.1貌似是7.83千米哦，怎么B61才4.91呢？不是说好了技术进步威力更大的吗”

上面是贴吧某博主用以佐证自己观点的论据。然而，这显然错误的。

冲击波是空气被压缩导致的。而空气可以看做麦克思韦子，它的压力是由单位体积内的粒子能量决定的。因此，如果当量E可以产生R半径的空气压缩球的话，要产生2R的压缩球，势必需要将E提升8倍才行。

而火球半径就要麻烦一些了。

一方面，辐射的光子是玻色子，它不占空间，能量可叠加，且不改变传播方向。从点光源的波动模型可以知道，波前能量如果没有衰减的话，R球面的能量和2R球面的能量相等，但2R球面的面积是前者的4倍，因此如果要维持能量密度的话，E提升4倍即可。

另一方面，辐射源需要维持一定的温度才能释放可见光，而温度也就是粒子平均动能，正如上面冲击波半径的推导，E和R的立方成正比。

所以，火球半径中E和R的关系，显然在2和3之间。实际上，它的理论值就是2.5，其推导过程如下：

http://www.applet-magic.com/fireball.htm

The Expansion of the Fireball of an Explosion

实测值2.46和理论值符合的非常好。

这里的推导和热力学统计其实没多大关系，算是本人学习玻尔兹曼分布的副产品吧。

Lanchester战争模型

第一次世界大战期间，英国工程师Lanchester针对战争问题建模，以预测战争的结果。

Frederick William Lanchester，1868～1946，被誉为英国三大最杰出的汽车工程师之一。英国皇家学会会员。

该模型包含了两个子模型：

Lanchester’s linear law：假设双方的装备能力相当，则单位时间内的损失，和战线的长度成正比，且双方损失的数量相等。这个模型主要适用于远程兵器威力有限的古代战争，古代战争以短兵相接的肉搏战为主。而肉搏战的特点就是一对一。

Lanchester’s square law：现代战争越来越立体化，因此是个多对多的模型。

首先，我们假设A军在战斗开始后的t时刻有$x(t)$人，B军在战斗开始后的t时刻有$y(t)$人，且每支军队的减员均由敌方攻击造成，减员速率与敌方人数成正比。忽略增员部队与非战斗减员，我们可以根据双方的减员速率列出如下的微分方程组：

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-by\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-cx\text{\hspace{1em}(2)}$$

在上述微分方程组中，b与c分别代表B军与A军的单兵作战效率，即每个战士在单位时间内干掉的敌军数量。我们可以用这个量来代表士兵的“质量”或“效率”，显然这个量与军队的武器水平，指挥员的指挥水平与战士的单兵素质有关。

用公式2除以公式1，得：

$$\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{-cx}{-by}$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{cx}{by}$$

$$by\mathrm{d}y=cx\mathrm{d}x$$

两边同时求t的定积分：

$${\int }_{t_0}^{t}by(t)\mathrm{d}y(t)={\int }_{t_0}^{t}cx(t)\mathrm{d}x(t)$$

$$b{\int }_{y_0}^{y}y\mathrm{d}y=c{\int }_{x_0}^{x}x\mathrm{d}x$$

$$b{y}^2-b{y}_0^2=c{x}^2-c{x}_0^2$$

$$b{y}^2-c{x}^2=b{y}_0^2-c{x}_0^2=K$$

我们可以由b，c，与双方初始人数$y_0，x_0$计算出K值。显然：

当K=0时，A、B平手。

当K>0时，B胜。

当K<0时，A胜。

Lanchester模型是一个连续模型，但实际战斗，尤其是海战，一般是离散模型，这时就要用到Salvo combat model了。

比如中途岛战役，美国在击沉日本3艘航母之后，遭到日本飞龙号的反击，损失了约克城号，直到第二波攻击，才最终将飞龙号击沉。

参考：

https://mp.weixin.qq.com/s/npprTz_GRgdv3BK7ff2grg

Lanchester战争模型：用可分离变量的微分方程占卜战事

随机过程

随机变量序列的收敛性

弱收敛：$F_n(x)\stackrel{W}{}F(x)$

依分布收敛：$X_n\stackrel{L}{}X$

依概率收敛：$X_n\stackrel{P}{}X$

r阶收敛：$X_n\stackrel{r}{}X$

几乎处处收敛（almost everywhere convergent）：$X_n\stackrel{a.e.}{}X$ or $X_n\stackrel{a.s.}{}X$

一致收敛（uniform convergence）：$X_n\stackrel{u.c.}{}X$

以上概念实际上都是测度论的内容。具体到这里，弱收敛针对分布函数F，而其他收敛针对随机变量X。

收敛严格性：

$$X_n\stackrel{P}{}X\supseteq X_n\stackrel{L}{}X$$

$$X_n\stackrel{r}{}X\supseteq X_n\stackrel{P}{}X$$

$$X_n\stackrel{a.s.}{}X\supseteq X_n\stackrel{P}{}X$$

大数定律：

依概率收敛->弱大数定律

几乎处处收敛->强大数定律

随机过程常用公式或符号

名称	公式或符号
期望	$$EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\mathrm{d}F(x)$$，若存在密度函数则$$EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x$$
方差	$$DX=Var(X)=E(X-EX{)}^2$$
协方差	$$Cov(X,Y)=E\{\overline{[X-E(X)]}[Y-E(Y)]\}$$
相关系数	$${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$
协方差矩阵	$$\left[\begin{array}{cccc}Cov(X_1,X_1)& Cov(X_1,X_2)& \cdots & Cov(X_1,X_n)\\ Cov(X_2,X_1)& Cov(X_2,X_2)& \cdots & Cov(X_2,X_n)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ Cov(X_n,X_1)& Cov(X_n,X_2)& \cdots & Cov(X_n,X_n)\end{array}\right]$$
相关函数	$$R(X,Y)=E[\overline{X}Y]$$
均方极限	$${l.i.m}_{n\to +\infty }X$$

https://mp.weixin.qq.com/s/46NrpIako2lJ2ZitAQs8Sw

划重点！通俗解释协方差与相关系数

http://pinkyjie.com/2010/08/31/covariance/

浅谈协方差矩阵

平稳过程

严平稳过程：有限维分布。

宽平稳过程：二阶矩。

不要被名字迷惑了，由于两者关注的东西不同，一般情况下，严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程。

只有以下特例：

1.对于二阶矩过程，严平稳过程一定是宽平稳过程。

2.对于正态过程，严平稳过程和宽平稳过程是等价的。

大数定律与中心极限定理

大数定律

切比雪夫大数定律：用统计方法来估计期望的理论依据。

$$E(X)\approx \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k$$

贝努利大数定律：事件A发生的频率$\frac{n_A}{n}$依概率收敛于事件A的概率p。当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小：$p\approx \frac{n_A}{n}$