整理：卷积的直观理解、物理意义与本质（二）

数据挖掘中有时需要卷积这一数学工具(例如计算个体适应度、对象间距离,以及干预效果等等），昨天又有同学问到相关问题，借用最近在网上的滚烫的词汇集 { 辐射，服碘，补盐，空袭 }，对卷积做了一个直观的解释。反馈还算满意，又在过去讲课的PPT中取些素材，改写成了这篇博文。
　　
　　幼童背古诗文的感觉，来自数学系的同学觉得卷积是小菜一碟，随手就写出卷积定义
       F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ  (积分限从-∞ 到+∞)
　　并指出这是含参积分，t是参数，觉得浅而又显，无须解释。而部分（例如来自工科和医学专业的）选修数据挖掘的学生，还是觉得稍有点难，说：相关公式能默写、能推导、能通过考试，自己还是觉得不踏实，觉得没有真正理解；发明者是怎样想出来的？有何直观背景？用在哪些场合？
　　一言以蔽之，在逻辑上认可，而直观上迷茫。好像很小的时候背诵古诗文那种感觉。
　　鉴于数学老师已经讲解过理论推导，作为一种补充，这里用生活实例做一些直观解释，给出一个大框架和物理直观，为叙述简单，忽略一些细节。需要说明，直观的解释仅用于辅助理解，不能取代严格的描述和证明。

 

　　几个时髦（但可能不很贴切）的例子.
　　辐射：设某核电站事故中，某工作人员每天到抢险现场工作T分钟，接受一定剂量的辐射，辐射会自然地衰减，如此工作N天，总的辐射量用什么计算工具来（粗略地）估计？回答：可以用卷积。
　　服碘：某人为了防辐射，自己找来碘片，每天口服若干，体内碘残量会随人体代谢衰减，N天后体内积累的碘残量如何（粗略地）估计？还是卷积；（后面科普部分将给出简单的推导过程）；
　　补盐：某人为了反辐射，抢购来碘盐，每餐口服若干，体内盐残量会随人体代谢衰减。N天后体内积累的盐量和碘残量如何（粗略地）估计？可以用卷积；
　　空袭：某多国部队每隔N小时对桀骜不驯的某地区或国家实行间歇性空中打击，每次打击后，其物理破坏和心理震慑作用会随时间衰减（例如，被打方会组织抢修，心里承受度增加等等），如此进行M天后，累积的打击总效果如何（粗略地）估计？还是可以用卷积。
　　还有其他例子，如长期服药的血药浓度，长期吸入污染物在人体内的积累，吸烟或喝咖啡的积累效应，多次喷洒农药的残留量，等等，也可以用卷积来估计。
　　上面的有些例子可能不很贴切，有几个原因：，
　　(a)卷积是积分运算，处理对象要求是可以积分的函数，在工程中，一般对应于连续现象而不是离散对象；把离散对象当做连续的现象处理，只能粗略估计。
　　(b)社会问题，政治问题比较复杂，即使加上很多假定，也只是框架性的估算。
　　但是，有计算、有依据的估计总比算命先生的神仙数字可信。
　　
　　难懂之因：为了数学美，拆卸了脚手架。 教科书书常用“定义—定理”的体系，先给出数学定义，然后给出若干性质， 从公式 到 公式，逐步推导。有的教科书采用用信号“反褶、平移、相乘、积分”给出几何解释，属于用数学解释数学，提问者不满足这种解释。
　　这不是当年发明卷积的大师们的“需求–猜想—发现—证明—应用”的路径，大师们建设好“卷积”大厦后，为了数学美，拆卸了脚手架，现在人们看到的是炼成的钢铁，看不出钢铁是怎样炼成的。造成了部分非数学专业学生的一个难点。

 

　　一次输液引出的班门弄斧 一次偶感风寒，服药未愈，转作静脉滴注，无聊地望着那药液慢腾腾地滴，忽然灵感一闪：
　　（1）这是一个可离散观察的连续过程。透明玻璃管构成了可视化的界面，能离散地对药滴计数，而下面是相对稳定的液柱高度，保证了药液连续（有点脉动）地注入静脉，比较适合积分处理；（口服和注射，就相对离散，结果就更粗略一些）。
　　（2）药动学有个术语血药浓度，怎样来保证血药浓度在安全阈值之下，又在有效阈值之上呢？
　　立刻在草稿本上写划，哇噻，原来可以用卷积！而且只需要简单的积分知识。于是，对此常问难点，有了一个易懂的直观解释。正是：小恙滴注，焉知非福？
　　下面将叙述这次双重的（数学与医学）的班门弄斧，疏漏之处，请专家指正。
　　
　　静脉滴注与体内药物浓度 为简单又不失一般性，给出下列符号和假定:
　　从t=0开始，每隔τ秒，输入药物一次（离散化是为了简单）；药量随时间变化， 在时刻t时的那次给药量为f(t)，关注的时刻点为 t=0, τ，2τ，3τ，…

　　
　　一滴药液的在体内衰减规律 药物以多种方式代谢(衰减)，按假设，在τ₁时的那滴药液含药量f(τ₁)，当时间流逝到t时刻，假设那一滴药物在体内的残量是f(τ₁)* g(t，τ₁)，其中g(t，τ₁)称为衰减因子函数，怎么找出衰减因子的具体结构呢？ 药动学中有两种衰减方式 ：

   (a)零级动力学消除，即恒速消除，如乙醇血浓>0.05 mg/ml时，较简单；

   (b)一级动力学消除，即恒比消除，消除速度与血药浓度成正比，如乙醇血浓<0.05 mg/ml时的衰减规律，这也类似于简单热传导中散热速度与温差成正比。    设在τ时刻 ，输入一滴药，药量为f(τ)， 根据一级动力学消除，建立最简单的微分方程 ；

        dg/dt =-kg

    考虑t=τ时不衰减的初始条件，容易求得 g=e^-k(t-τ) ，  

   为下面方便，把衰减因子改写为   

       g(t-τ)= e^-k(t-τ)

       于是，在τ>0时,给药一次，药量为f(τ)， 

       当t为2τ时，血药浓度降到  f(τ)*g(t-τ)= f(τ)*g(τ)= f(τ)(1/e^k ) 

               当t为3τ时，血药浓度降到   f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(2τ)= f(τ)(1/e^2k ) 

               当t为4τ时，血药浓度降到   f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(3τ)= f(τ)(1/e^3k )

    可见，只给药一滴，血药浓度衰减很快，难以治疗那种要与病毒或细菌打持久战的疾病。

 

    多次密集给药 或连续给药    用τ置换让上面的T，让τ动起来，令τ依次取τ₁, τ₂,….. τ_n  ，则N多次密集给药后，当时间流逝到t时的血药浓度是    

     ∑j f(τ_j)*g(t-τ_j)              ( 对 j=1,2,….. n  求和）

 

 前面说过，静脉滴注是一个可离散观察的连续过程。，所以，上面的和式可写为积分形式，即卷积 

     F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 

 

     曲线光滑工具 当f(τ)是脉冲函数时（例如考察一滴药引发的血药浓度），曲线显得不够光滑，而卷积F(t)是多次脉冲的（平均）累积效应，或可视为是一种加权平均，所以，F(t)的曲线就光滑一些，所以，医生要考察N小时的滴注效果，而不察几分钟或一滴药的效果。选择适当的g(t-τ)函数，（例如，3/2次方衰减型、平方衰减性、指数衰减型、周期兼指数衰减型，...），可用卷积作为突出不同加权方式的曲线光滑工具。

    比较光滑、不是陡升陡降的血药浓度曲线表明，静脉滴注能较好地控制血药浓度；这大概也是有些医生和病人喜欢它的原因；当然，如果过分依赖静脉滴注，则减少了免疫系统的锻炼机会，所以很多医生主张，如果服药能解决问题，就不要滴注。

    

    更多的应用实例  卷积的结果可辅助人们定量地协调脉动式输入 f(τ) 和 衰减g(t-τ) 这一对矛盾，使得累积效应F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 在控制范围内。

    例如，研究干预规则，（例如，叶酸干预新生儿脑畸形缺陷），干预为f(τ)，复杂的衰减g(t-τ)，总的干预效果可否用卷积来粗略描述？
　　再例如，制定正确的给药剂量和周期，例如照医嘱摄入碘或盐；
　　又例如，制定空中打击方案的强度和频度，常识告诉人们，足够的强度和密度才能有效打击。卷积作为工具，或许可定量计算出最经济打击强度和密度。而被打击的一方，可计算出足够的衰减因子，使得能在被轰炸后有效恢复；战争是铁血与智慧的较量，当双方的铁与血差不多时，如《孙子.计篇》所说，“多算胜，少算不胜”，而卷积只不过在众多的计算方法基础上，增加了一个算法，仅此而已,

    最近，在这个不平静的世界上，有一场空袭和反空袭的较量，不知持续多久？10天，100天，还是200天？研究军事的专家或许可用卷积做个模型。

     武侠小说中，有时候看见一方逐步投入兵力，使用添油战术，好像是多次服药，每次都没有服够量，血药浓度低于有效门限。被逐次歼灭。

     卷积并不神秘，它有其退化版，例如水池一面进水，一面放水，求瞬时水量。当进水匀速且放水速度服从零级或一级动力学消除规律时，偶尔也作为中小学生的数学奥赛题，基础好的聪明学生能用初等方法计算。但当进水是1+sin(t)这样的脉动函数，或更复杂的函数时，就只能用卷积了。

     卷积是一个老技术，对某些专业的学生是一个难点，“老技术+新讲法+直观解释”使其容易被初学者接受。这里要强调，直观解释不能取代严格的数学推理，这里的班门弄斧。不能取代数学老师的正规训练。。