自律学习[1]----线性代数

第一次学习（2019/03/09~2019/03/14）：

第一章 行列式（一）

1.1 二阶与三阶行列式
1.2 全排列和对换（计算行列式的值时会使用到，全排序针对的是自然数）
1.3 n阶行列式的定义

练习题：
1、二阶行列式$\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right|=(-1{)}^{i(a_{11},a_{22})}\ast (3\ast 2)+(-1{)}^{i(a_{12},a_{21})}\ast (4\ast 4)=1\ast 6-4\ast 4=-10$
2、若三阶行列式$A=\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 4& 3& x\end{array}\right|=4$，则x= 0
解：$A=x\ast 1\ast \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& x\end{array}\right|+1\ast (-1)\ast \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& x\end{array}\right|=x\ast (-3)-(x-4)=-4x+4=4$ 从而可得x=0
3、排列614523的逆序数为：$i(614523)=5+0+2+2+0+0=9$
4、若排列$1k5l3$是奇排列，则k =
解：$k=2或4$，当$k=2$时$l=4，此时i=0+0+2+1+0=3$
当$k=4时l=4，此时i=0+2+2+0+0=4$。因此k=2是正确答案
5、四阶行列式$\left|\begin{array}{cccc}13& 0& 45& 1\\ 8& 6& 2& 0\\ 3& 3& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{i(a_{14},a_{23},a_{32},a_{41})}\ast (1\ast 2\ast 3\ast 3)=(-1{)}^{i(3+2+1+0)}\ast 18=18$
6、三阶行列式$\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 4& 9& 16\\ 2& 2& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 0& 3& 8\\ 0& -1& -2\end{array}\right|=2\ast \left|\begin{array}{cc}3& 8\\ -1& -2\end{array}\right|=2\ast (-6-(-8))=4$
7、设三阶行列式$\left|\begin{array}{ccc}x& a& a\\ a& x& a\\ a& a& x\end{array}\right|=0$，则x的取值为：
解：当$x=a$时，行列式中的元素全部为0，此时行列式的值为0
当$x=-2a$时，行列式$\left|\begin{array}{ccc}-2a& a& a\\ a& -2a& a\\ a& a& -2a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-2a& a& a\\ -a& -a& 2a\\ a& a& -2a\end{array}\right|$，其中$(-1)\ast R(2)=R(3)$，此时行列式的值为0
从而可得x的取值为a或者-2a
8、行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ 0& e& f& 0\\ g& 0& 0& h\end{array}\right|=(-1{)}^{i(a_{11}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{44})}\ast acfh+(-1{)}^{i(a_{11}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{44})}\ast adeh+(-1{)}^{i(a_{14}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{41})}\ast bcfg+(-1{)}^{i(a_{14}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{41})}\ast bdeg=acfh-adeh-bcfg+bdeg$
9、行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ -2& 2& 1\\ -3& 4& -2\end{array}\right|\stackrel{\text{R(2)+=2*R(1);R(3)+=3*R(1)}}{=}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ 0& 6& -7\\ 0& 10& -14\end{array}\right|=[1\ast (6\ast -14)-(-7\ast 10)]=-14$
10、方程$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& x\\ 4& 9& x^2\end{array}\right|=0$的解为：
$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& x\\ 4& 9& x^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& x-2\\ 0& 5& x^2-4\end{array}\right|=1\ast [1\ast (x^2-4)-5\ast (x-2)]=(x+2)(x-2)-5(x-2)=(x-3)(x-2)=0$，因此$x=2$或者$x=3$
11、行列式$\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -7\\ 2& 0& -4\\ 5& 1& 2\end{array}\right|\stackrel{\text{L(3)+=2*L(1)}}{=}\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 2& 0& 0\\ 5& 1& 12\end{array}\right|=(-1)\ast 2\ast (2\ast 12-1\ast -1)=50$
12、行列式$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& 2& 0\\ 3& 1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 1& -2\end{array}\right|=1\ast (-4-1)=-5$
13、行列式$\left|\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 4& 0& 0& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{i(a_{14}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{41})}\ast 1\ast 2\ast 3\ast 4=(-1{)}^{(3+2+1)}\ast 24=24$
14、已知$f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x& 1& 1& 2\\ 1& x& 1& -1\\ 3& 2& x& 1\\ 1& 1& 2x& 1\end{array}\right|$，则$x^3$前的系数为
$(-1{)}^0+2\ast (-1{)}^{i(a_{11}{a}_{22}{a}_{34}{a}_{43})}=1-2=-1$
15、行列式$f(x)=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 4\\ 3& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\end{array}\right|(-1{)}^{i(a_{13}{a}_{24}{a}_{31}{a}_{42})}\ast 2\ast 4\ast 3\ast 5=(-1{)}^{(2+2+0+0)}\ast 120=120$

第二次学习（2019/03/15~2019/03/14）：

第一章 行列式（二）

1.4 行列式的性质
① 行列式与它转置行列式相等
② 对换行列式两行（列），行列式变号
③ 行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘同一个数k，等于用数k乘此行列式
④ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
⑤ 若行列式的某一行（列）的元素都是两束之和，例如第i行的元素之后都是两数之后：
$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}+a_{i2}^{{}^{\prime }}& ...& a_{in}+a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& ...& a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{{}^{\prime }}& a_{i2}^{{}^{\prime }}& ...& a_{in}^{{}^{\prime }}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$
⑥ 把行列式的某一行（列）各元素乘同一数然后加到玲一行（列）对应的元素上去，行列式不变
1.5 全排列和对换（计算行列式的值时会使用到，全排序针对的是自然数）
余子式和代数余子式，分别记为$M_{ij}和A_{ij}$，其中$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，行列式$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$
或者$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj}$
1.6 n阶行列式的定义
1.7 范德蒙行列式
$V(x_1,x_2,...,x_n)=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ x_1& x_2& x_3& ...& x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& ...& x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{k-1}& x_2^{k-1}& x_3^{k-1}& ...& x_n^{k-1}\end{array}\right|={\prod }_{1<=i<j<=k}(x_i-x_j)$

练习题

1、设$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 3& 1\\ 6& 0& 5\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{ccc}2& x+1& -1\\ y-1& 0& z\end{array}\right]$，若$A=-B$，则：$x=-4,y=-5,z=-5$
解：$x+1=-3,y-1=-6,z=-5$
2、设行列式$D=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& -5& 1\\ 1& -3& 0& -6\\ 3& -2& 1& 3\\ 1& 4& -7& 6\end{array}\right|$，$M_{ij}$表示元素$a_{ij}$的余子式，则$-2M_{32}-M_{33}-2M_{34}=27$
解：$-2M_{32}-M_{33}-2M_{34}=0\ast A_{31}+2A_{32}-A_{33}+2A_{34}=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& -5& 1\\ 1& -3& 0& -6\\ 0& 2& -1& 2\\ 1& 4& -7& 6\end{array}\right|=27$
3、设5阶行列式$D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0& 0\\ 0& x_2+x_3& x_3+x_4& x_4+x_2& x_2+x_3\\ 0& x_1& x_2& x_3& x_4\\ 0& x_1^2& x_2^2& x_3^2& x_4^2\end{array}\right|$，且$x_i(i=1,2,3,4)$互不相等，则必有：$x_2+x_3+x_4=0$
解：

第二章 矩阵极其运算

对称阵：$X=X^T$