Tarjan-CV/BCC/SCC算法学习笔记

DFS性质的应用——利用Tarjan算法求割顶、BCC、SCC

整理自《算法竞赛入门经典——训练指南》以及网络

DFS (depth first search)深度优先搜索算法

dfs森林：按照dfs的执行顺序，将图的所有边重新梳理，分为四个类别：前向边、反向边、交叉边和树边。在无向图中不存在交叉边，前向边与后向边等价。

关键变量：

pre[u]：记录u点被访问到的次序。
pre[u] = ++dfs_clock;
low[u]：在DFS过程中，u及其后代能连回的最早祖先的pre值。
low[u] = min{low[v] | u -> v}

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$1 计算割顶和桥

• 割顶：对于连通图，删除后使图不再连通的点。
• 桥：对于连通图，删除后使图不再连通的边。

计算割顶的方法：在DFS过程中，如果一个点u存在一个子节点v，使得v及其后代都没有反向边连回u的祖先（不包括u），即lowv >= pre[u]，则u是割顶。

计算桥的方法：如果v的后代只能连回v自己（即low(v) > pre(u)）则u-v是桥。

注意：

1. 对于已访问点，只处理反向边（条件pre[v] < pre[u]）。前向边的pre已被传递过，不需要处理。
2. 根节点需要特判：当DFS树根只有一个孩子时不是割顶，需手动取消割顶标记。

$2 计算BCC和SCC

• 无向图的（点）双连通分量（BCC）：内部无割顶，即任意两条边都在一个简单环中。
• 无向图的边-双连通分量：所有边都不是桥，即每条边都至少在一个简单环中。

计算BCC的方法：将边入栈，在找到割顶后将这条边及其之后入栈的边（子树的边）出栈，对点进行标记。

计算edge-BCC的方法：找到桥后再做一次不经过桥的DFS即可。

• 有向图的强连通分量（SCC）：分量内的点相互可达

计算SCC的方法：将点入栈，DFS过程中记录lowlink，当lowlink(u) == pre(u)时将其中的点出栈标记。

注意：

1. 当遇到已访问点时，要忽略已经确定编号的点（条件!sccno[v]）
2. lowlinku的最小值取任意一个都可以（都比树根的小)：
   lowlinku = min(lowlinku, pre[v] OR lowlinkv);
3. BCC算法会将单独连接的两个点也标记为BCC（两个点虽然不能称为环，但他们都不是割顶，符合BCC的定义。需要根据实际情况特判）
4. SCC算法会将每一个点都划分到一个SCC，即单独的点也会被scc_count编号，这使得缩点的过程更为方便。

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贴上代码

计算BCC

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 2e4 + 1;
int dfs_clock, pre[maxn], iscut[maxn], bccno[maxn], bcc_count;
struct Edge {
    int u, v;
};
vector  bcc[maxn], G[maxn];
stack  S;
void AddE(int u, int v) {
    G[u].push_back(v);
}
int tarjan(int u, int fa) {
    int lowu = pre[u] = ++dfs_clock, child = 0;
    for (auto v: G[u]) {
        if (!pre[v]) {
            child++;
            S.push((Edge) {u, v});
            int lowv = tarjan(v, u);
            lowu = min(lowu, lowv);
            if (lowv >= pre[u]) {
                iscut[u] = 1;
                ++bcc_count;
                bcc[bcc_count].clear();
                //cout<'<>n>>m;
    while (m--) {
        cin>>u>>v;
        AddE(u, v);
        AddE(v, u);
    }
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        if (!pre[i])
            tarjan(i, -1);
    cout<

Tarjan求SCC+缩点+拓扑排序

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 1;
int n;
int pre[maxn], dfs_clock, sccno[maxn], scc_count;
int c[maxn], topo[maxn];
vector  G[maxn], GA[maxn], scc[maxn];
stack  S;
void AddE(int u, int v) {
    G[u].push_back(v);
}
void AddED(int u, int v) {
    //cout<<"Add"<>n>>m;
    while (m--) {
        cin>>u>>v;
        AddE(u, v);
    }
    for (i = 1; i <= n; ++i) {
        if (!pre[i])
            tarjan(i);
    }
    for (i = 1; i <= n; ++i) //Err Impppp
        for (int v: G[i]) if (sccno[i] != sccno[v]) //Err2.
            AddED(sccno[i], sccno[v]);
    if (!toposort(scc_count))
        cout<<"Shit!"<