快速傅里叶变换（FFT）

多项式的概念

1. 多项式次数界：

关于x的多项式即形如$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^1+\cdots +a_n{x}^n$的式子，其中最高项的次数为$n$，则任何大于$n$的整数都成为该多项式的次数界，但一般我们取最小的次数界，即该多项式的次数界为$n+1$。所以一个次数界为$n$的多项式，它的最高项次数为$n-1$.

2.多项式的两种表示方法：

系数表示法：
一个次数界为n的多项式，最多有n个系数，如果确定了这n个系数，则多项式可以唯一确定。
点值表示法：
如果给出了$n$不同的的$x$值，并对应的给出了$n$个$f(x)$值，则次数界为$n$的多项式也可以唯一确定，所以我们也可以用$n$对$(x,f(x))$的点值，唯一地确定多项式。

3.多项式的运算

若有$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$,$g(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots +b_n{x}^n$，我们来讨论一下多项式的运算。
多项式的加减
$f(x)\pm g(x)=(a_0\pm b_0)+(a_1\pm b_1)x+(a_2\pm b_2)x^2+\cdots +(a_n\pm b_n)x^n$.
一次加减操作是O(n)的。
而如果是点值表示法，我们需要对n个点值进行加减，所以也是$O(n)$的。
多项式的乘法
如果是系数表示法，很明显是$O(n^2)$的。
如果是点值表示法，因为最高项变成了2n-2次，所以我们需要2n-1对x和f(x)值才能唯一确定。这一过程仍然是$O(n)$的。
对于两个多项式的系数表示的乘法运算，我们能否先把他们转换为点值表示法，然后进行乘法运算，然后再把结果转换为系数表示法呢？
我们先来看一下系数表示法和点值表示法互换的时间复杂度。
已知系数表示法，求一个点的f(x)，可以使用秦九韶算法，在O(n)时间内求出来。
$f(x_0)=a_0+x(a_1+x(a_2+x(a_3+x(\cdots +x(a_{n-1}+x{a}_n))\dots )$
于是将一个多项式从系数表示法换成点值表示法需要$O(n^2)$.
那么反过来，将一个多项式从点值表示法换成系数表示法呢？
似乎更高！使用高斯消元，需要$O(n^3)$的时间复杂度。
有没有什么办法优化？
忘了介绍了，从系数表示法转换为点值表示法，我们称这一过程为求值；从点值表示法换成系数表示法，这一过程我们称之为插值。
使用拉格朗日插值法，我们可以将插值的时间复杂度稍微降低一点，
$$f(x)=\sum _{1\le i\le n}{y}_i\prod _{1\le j\le n\wedge j̸=i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
考虑到有很多重复的计算，看分子，我们可以预处理出$$\omega (x)=\prod _{1\le j\le n}(x-x_j)$$

$$l_i=\prod _{1\le j\le n\wedge j̸=i}\frac{y_i}{x_i-x_j}$$
则可得：
$$f(x)=\omega (x)\sum _{1\le i\le n}\frac{l_i}{x-x_i}$$
时间复杂度降为$O(n^2)$
然而时间复杂度还是没法优化，仍然为$O(n^2)$.

4.快速傅里叶变换

我们可以精心地选择n个x的值，使得求值和插值均能够利用分治，从而达到$O(NlogN)$的时间复杂度。
(一). 单位复数根
先了解一下复数。复数包含实部和虚部。
如果把实部看做x轴，虚部看做y轴，则可以得到复平面。
则复平面上的任意点都表示一个复数。
对于一个最高项次数为n的方程，如:$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$,如果考虑复数根，它一定有n个。

满足$x^n=1$的n个解，称为单位复数根。n次单位复根刚好有n个,这些根为
$e^{2\pi ik/n}$.我们利用了复数的指数形式的定义.
$$e^{i\omega }=cos(\omega )+isin(\omega )$$
由此可见,这n个复根在复平面上是均匀分布在以原点为圆心的单位半径的圆周上.而其中${\omega }_n=e^{2\pi i/n}$,称为主n次单位根,所有其他的n次单位复根都是${\omega }_n$的幂.
单位复数根具备这样的性质:
(1).消去引理:对任何整数$n\ge 0,k\ge 0$,以及$d>0$,有${\omega }_{dn}^{dk}={\omega }_n^k$.
(2).折半引理:如果$n>0$为偶数,那么n个n次单位复根的平方的集合就是n/2个n/2次单位复数根的集合.
利用消去引理即可证明.
(3).求和引理 对于任意整数$n\ge 1$和不能被n整除的非负整数k,有
$$\sum _{j=0}^{n-1}({\omega }_n^k{)}^j=0$$

(二).DFT
对于次数界为n的多项式,$$A(x)=\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j{x}^j$$
在${\omega }_n^0,{\omega }_n^1,{\omega }_n^2,\dots ,{\omega }_n^{n-1}$处求值,得到向量$y=(y_0,y_1,\dots ,y_{n-1})$,则称y为系数向量$a=(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})$的离散傅里叶变换(DFT).记为$y=DF{T}_n(a)$
(三).FFT
这是一种算法,可以在$O(NlogN)$的时间复杂度类计算出$DF{T}_n(a)$.它主要基于分治的策略。
设
$A^{[0]}(x)=a_0+a_2{x}^1+\cdots +a_{n-2}{x}^{n/2-1}$
$A^{[1]}(x)=a_{1}x+a_3{x}^1+\cdots +a_{n-1}{x}^{n/2-1}$
则$A(x)=A^{[0]}(x^2)+x{A}^{[1]}(x^2)$.
则A(x)在${\omega }_n^1,{\omega }_n^2,{\omega }_n^3,\dots ,{\omega }_n^{n-1}$处的问题则转换为:
求次数界为n/2的多项式$A^{[0]}(x)$和$A^{[1]}(x)$在${\omega }_{n/2}^0,{\omega }_{n/2}^1,\dots ,{\omega }_{n/2}^{n/2-1}$处的值.
这里要求n为2的幂,这样才能保证${\omega }_n^{2i}={\omega }_{n/2}^i$.

//递归写法，用于理解FFT。因为有更好的迭代写法，这种写法一般不用。
int *fft(int a[],int len)  //len is a power of 2
{ 
	if(len==1)
	return a;
	complex wn(cos(2*Pi/n),sin(2*Pi/n));
	complex w(1,0);
	static int a1[len/2+1],a2[len/2+1];
	static int y[len];
	for(int i=0;i

我们于是完成了对次数界为n的多项式在n次单位复根处的求值,从而得到它的点值表示法.这里的时间复杂度是O(NlogN)的.
接下来,我们可以通过点值表示法完成两个多项式的乘积,时间复杂度仍然是O(N)的.
然后,我们要把乘积的点值表示法换成系数表示法,这个过程是求值的逆运算,称为插值.
求值运算是这样的:
$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& {\omega }_n^1& {\omega }_n^2& \dots & {\omega }_n^{n-1}\\ 1& {\omega }_n^2& {\omega }_n^4& \dots & {\omega }_n^{2(n-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& {\omega }_n^{n-1}& {\omega }_n^{2(n-1)}& \dots & {\omega }_n^{(n-1)(n-1)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{n-1}\end{array}\right)$$

左边的矩阵是范德蒙德矩阵,$[V{]}_{ij}={\omega }_n^{ij}$,可以构造出它的逆矩阵$V^{-1}$,其中$[V^{-1}{]}_{ji}=1/n{\omega }_n^{-ij}$.
于是可以得到插值的运算是这样的:
$$\left(\begin{array}{ccccc}1/n& 1/n& 1/n& \dots & 1/n\\ 1/n& {\omega }_n^{-1}/n& {\omega }_n^{-2}/n& \dots & {\omega }_n^{-(n-1)}\\ 1/n& {\omega }_n^{-2}/n& {\omega }_n^{-4}/n& \dots & {\omega }_n^{-2(n-1)}/n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1/n& {\omega }_n^{-(n-1)}/n& {\omega }_n^{-2(n-1)}/n& \dots & {\omega }_n^{-(n-1)(n-1)}/n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$$
我们只需要在求值运算的基础上,稍作一些变换,将$a_n$和$y_n$互换,用${\omega }_n^{-1}$代替${\omega }_n$,并将计算结果中每一项除以n即可.
于是,我们也可以在$O(NlogN)$时间内求出$DF{T}_n^{-1}$.

(四).FFT的高效算法
上面的算法是递归的,我们可以把它改成迭代的.
观察向量$A=\{a_0,a_1,\dots ,a_n\}$,它每次都是按照奇偶分成两个向量$A^{[0]}$和$A^{[1]}$.

观察最底层系数的排列顺序,如果看他们的二进制,发现刚好0~7的二进制翻转,即镜面效果.为什么有这样的规律呢?
稍微一想,就能明白,因为我们是按照奇偶性来分的,就是按照最低位为0或为1来分的.所以排在前面的一半都是最低位为0的,后面的一般是最低位为1的.在每一半里,又是次低位为0的排前面,次低位为1 的排后面.如果把最低位看做最高位,次低位看做次高位,即将每个数镜面翻转,则它就是按照递增顺序排列的.也就是说,对于任何一个系数,如何它的编号是高低位镜面对称的,则它位置不变,否则,必然存在另一个系数,编号与它的编号镜面对称,则这两个数需要交换位置.这个置换我们称为位逆序置换,代码如下:

void change(complex num[],int len)
    {
        for(int i=1,j=len/2;i=k)
            {
                j-=k;
                k/=2;
            }
            if(j

接下来看一个简单的模板题:求a×b的结果。
其中a、b最多不超过50000位。
将a，b看做多项式f(x)和g(x),a*b即是将f(x)与g(x)两个多项式计算卷积，然后再令x=10的结果。
于是可以使用FFT。
注意不要压位太狠，系数有可能爆int。下面的代码没有压位。且保持读入的高低位顺序，即a1、a2数组从左到右即为读入的两个高精度数从高到低的顺序。

代码：
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define LL int
#define max(a,b) (a>b?a:b)
LL num1[MAXN],num2[MAXN],ans[MAXN];
char s1[MAXN],s2[MAXN];
int len1,len2,n;
const double PI=acos(-1.0);
struct complex
{
    double r,i;
    complex(double _r=0,double _i=0):r(_r),i(_i){}
    complex operator +(const complex &t)const
    {
        return complex(r+t.r,i+t.i);
    }
    complex operator -(const complex &t)const
    {
        return complex(r-t.r,i-t.i);
    }
    complex operator *(const complex &t)const
    {
        return complex(r*t.r-i*t.i,r*t.i+i*t.r);
    }
}a1[MAXN],a2[MAXN],w,wn;
void change(complex num[],int len)
    {
        for(int i=1,j=len/2;i=k)
            {

                j-=k;
                k/=2;
            }
            if(j0;i--)
        {
            ans[i-1]+=ans[i]/10;
            ans[i]%=10;
        }
        int ii;
       for(ii=0;ans[ii]==0&&ii