逆元模板

 逆元是求ax≡1(mod p)中的x的最小正整数，常应用于 除法取模。

   存在这样的x的条件是a与p互素，即只有当a与p互素时，逆元存在

   求逆元有三种常用的方式

   扩展欧几里德（要求a与p互素）

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)//有返回值
{
    int d = a;
    if(b != 0)
    {
        d = extgcd(b, a%b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}
int mod_inv(int a, int p)
{
    int x, y;
    extgcd(a, p, x, y);
    return (x%p + p) % p;
}

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩欧，无返回值
{
	if(b==0)
	{
		y=0;x=1;
	} 
	else
	{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=x*(a/b); 
	} 
}

费马小定理（要求p为素数，且a与p互素）

 

LL mod_pow(LL a, LL b, LL p)
{
    LL ans = 1;
    a %= p;
    while(b>0)
    {
        if(b & 1) 
            ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
LL mod_inv(LL a, LL p)
{
    return mod_pow(a, p-2, p);
}

线性时间求逆元（要求p为素数，常用于a较小且需要求出大量逆元的时候）

const int N=50010;
int inv[N];
void inv_init(int p)
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++)
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;        
}