Codevs3285 转圈游戏

2013年NOIP全国联赛提高组

问题

题目描述 Description
n 个小伙伴（编号从 0 到 n-1）围坐一圈玩游戏。按照顺时针方向给 n 个位置编号，从0 到 n-1。最初，第 0 号小伙伴在第 0 号位置，第 1 号小伙伴在第 1 号位置，……，依此类推。
游戏规则如下：每一轮第 0 号位置上的小伙伴顺时针走到第 m 号位置，第 1 号位置小伙伴走到第 m+1 号位置，……，依此类推，第n - m号位置上的小伙伴走到第 0 号位置，第n-m+1 号位置上的小伙伴走到第 1 号位置，……，第 n-1 号位置上的小伙伴顺时针走到第m-1 号位置。
现在，一共进行了 10^k 轮，请问 x 号小伙伴最后走到了第几号位置。

输入描述 Input Description
输入共 1 行，包含 4 个整数 n、m、k、x，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出描述 Output Description
输出共 1 行，包含 1 个整数，表示 10^k 轮后 x 号小伙伴所在的位置编号。

样例输入 Sample Input
10 3 4 5

样例输出 Sample Output
5

数据范围及提示 Data Size & Hint
对于 30%的数据，0 < k < 7；
对于 80%的数据，0 < k < 10^7；
对于 100%的数据，1 < n < 1,000,000，0 < m < n，1 <= x <=n，0 < k < 10^9。

代码

//By Chorolop
#include
#include
using namespace std;

long long n,m,k,x;

long long ksm(long long x,long long k){
    long long b = 10,res = 1;
    while(k){
        if(k&1) res = (res*b)%n;
        b = (b*b)%n;
        k /= 2;
    }
    return (res*m+x)%n;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&x);
    printf("%lld",ksm(x,k));
    return 0;
}

评价

分析Analysis
初步目测为快速幂。依题意得：X(K) = ( x + m*(10^k)) % n
其中x m k n我们都知道是什么了，X(K)就是目标解。
这个式子还能再简化：x < n 所以x可以从括号中拉出来；然后根据同余式的推论我们可以将原式拆成m%n * (10^k)%n，又有m < n，所以问题的目标就是求(10^k)%n，只需一个带mod的快速幂就行了。至于为什么mod n，这是显然的（自行思考）。

理论基础
快速幂+（同余式）