基变换和坐标变换
12 基变换和坐标变换
基变换和坐标变换
同学们好！大家学完基变换和坐标变换一节后，是不是觉得特别难以理解呢？可是这一节是非常重要的内容哦！坐标变换在解析几何中还有非常重要的应用——就是用来化简二次曲线和二次曲面（对应二元二次型和三元二次型化标准形的问题），在线性变换一章中，坐标变换也是非常鲜活的例子，所以我们要学好这一节哦！
尽管作者在编写这篇文章的时候，浏览器和markdown软件出了若干次故障，有时令人感到绝望，作者还是坚持编写完这篇文章，希望对大家有帮助，你也一定要看完它哦！
理解公式的一个好的方法是自己亲自把公式推导一遍,有可能的话，甚至可以找一个同学讲一遍给他听.
向量的线性表出的形式记号
在线性空间 V V V中，向量 β \displaystyle \beta β被向量组 α 1 , ⋯ , α r \displaystyle \alpha_1,\cdots, \alpha_r α1,⋯,αr线性表出有三种写法：
（1） β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k r α r \displaystyle \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r β=k1α1+k2α2+⋯+krαr
(2)连加号： β = ∑ i = 1 r k i α i \displaystyle \beta=\sum_{i=1}^r k_i\alpha_i β=i=1∑rkiαi
(3)形式记号：
β = ( α 1 , ⋯ , α r ) ( k 1 k 2 ⋮ k r ) \beta=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)\begin{pmatrix}k_ 1\\k_2\\\vdots\\k_r\end{pmatrix} β=(α1,⋯,αr)⎝⎜⎜⎜⎛k1k2⋮kr⎠⎟⎟⎟⎞
第（3）种形式展开后的含义与（1）相同，但有时候比（1）和（2）好用，尤其是在理论推导时非常简洁.
如果需要用 α 1 , ⋯ , α r \displaystyle \alpha_1,\cdots, \alpha_r α1,⋯,αr表示向量组 β 1 , ⋯ , β s \displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_s β1,⋯,βs, 则沿用（3）的方法，可以用一个等式完成向量组的线性表出：
( β 1 , ⋯ , β s ) = ( α 1 , ⋯ , α r ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 s a 21 a 22 ⋯ a 2 s ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a r 1 a r 2 ⋯ a r s ) (\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}& \cdots& a_{1s}\\a_{21}& a_{22}&\cdots &a_{2s}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots&a_{rs}\end{pmatrix} (β1,⋯,βs)=(α1,⋯,αr)⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮ar1a12a22⋮ar2⋯⋯⋮⋯a1sa2s⋮ars⎠⎟⎟⎟⎞
( β 1 , ⋯ , β s ) = ( α 1 , ⋯ , α r ) A r × s ( 1 ) (\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)A_{r\times s}\quad\quad (1) (β1,⋯,βs)=(α1,⋯,αr)Ar×s(1)
基变换公式
n n n维线性空间 V V V中有不同的基，例如（I） ε 1 , ⋯ , ε n \displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε1,⋯,εn和（II） ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ . \displaystyle \varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime. ε1′,⋯,εn′.
按照公式（1）的想法，基（II）可以被基（I）线性表示为：
( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) A , ( 2 ) (\varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A, \quad \quad (2) (ε1′,⋯,εn′)=(ε1,⋯,εn)A,(2)
其中 A A A为 n n n阶可逆方阵，称为从基(I)到基(II)的过渡矩阵.
坐标变换公式的推导
∀ α ∈ V \displaystyle\forall\alpha\in V ∀α∈V, 设 α \alpha α在基（I）和基（II）下的坐标分别为
( x 1 x 2 ⋮ x n ) 和 ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x 2 ′ ) . \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}和\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}. ⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞和⎝⎜⎜⎜⎛x1′x2′⋮x2′⎠⎟⎟⎟⎞.
则，
α = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x 2 ′ ) ( 3 ) \alpha=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=(\varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime)\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}\quad\quad (3) α=(ε1,⋯,εn)⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=(ε1′,⋯,εn′)⎝⎜⎜⎜⎛x1′x2′⋮x2′⎠⎟⎟⎟⎞(3)
将（2）代入（3）得，
α = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) A ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x 2 ′ ) \alpha=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix} α=(ε1,⋯,εn)⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=(ε1,⋯,εn)A⎝⎜⎜⎜⎛x1′x2′⋮x2′⎠⎟⎟⎟⎞
由于同一个向量 α \alpha α在同一组基（I）下的坐标是唯一的，所以有
( x 1 x 2 ⋮ x n ) = A ( x 1 ′ x 2 ′ ⋮ x 2 ′ ) . ( 4 ) \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}.\quad \quad (4) ⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=A⎝⎜⎜⎜⎛x1′x2′⋮x2′⎠⎟⎟⎟⎞.(4)
公式（4）称为用新坐标表示旧坐标的坐标变换公式.
公式（2）和（4）应该在理解的基础上牢记在心！记忆的时候注意下列要点：
旧基表新基，矩阵是右乘；新坐标表旧坐标，矩阵是左乘.
应用
仅仅记住公式是没用的，在具体的例子中熟练运用公式，才能将它理解得更加透彻，学以致用才是我们的目的.
例1 (1) 将坐标系 x o y xoy xoy绕着原点逆时针旋转 θ \theta θ角得到 x ′ o y ′ x^\prime oy^\prime x′oy′, 基变换公式和坐标变换公式分别为
( i ′ , j ′ ) = ( i , j ) [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] , (i^\prime, j^\prime)=(i,j)\begin{bmatrix}\cos\theta& -\sin\theta\\\sin\theta& \cos\theta\end{bmatrix}, (i′,j′)=(i,j)[cosθsinθ−sinθcosθ],
[ x y ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x ′ y ′ ] . \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta& -\sin\theta\\\sin\theta& \cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix}. [xy]=[cosθsinθ−sinθcosθ][x′y′].
(2)将坐标平面沿 x x x轴反射的基变换公式和坐标变换公式：
( i ′ , j ′ ) = ( i , j ) [ 1 0 0 − 1 ] , (i^\prime, j^\prime)=(i,j)\begin{bmatrix}1& 0\\0 & -1\end{bmatrix}, (i′,j′)=(i,j)[100−1],
[ x y ] = [ 1 0 0 − 1 ] [ x ′ y ′ ] . \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 0\\0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix}. [xy]=[100−1][x′y′].
例2 将双曲线 x y = 1 xy=1 xy=1化为标准方程.
解：将坐标系 x o y xoy xoy绕着原点逆时针旋转 π 4 \frac{\pi}{4} 4π角得到 x ′ o y ′ x^\prime oy^\prime x′oy′, 由例1 （1）中的第二个公式得，
[ x y ] = [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] [ x ′ y ′ ] , \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}& -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}& \frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix}, [xy]=[2121−2121][x′y′],
即，
{ x = x ′ − y ′ 2 y = x ′ + y ′ 2 \begin{cases}x&=&\frac{x^\prime-y^\prime}{\sqrt2}\\\quad &&\\ y &=& \frac{x^\prime+y^\prime}{\sqrt2}\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧xy==2x′−y′2x′+y′
代入 x y = 1 xy=1 xy=1得到标准方程为：
( x ′ ) 2 − ( y ′ ) 2 ( 2 ) 2 = 1. \frac{(x^\prime)^2-(y^\prime)^2}{(\sqrt 2)^2}=1. (2)2(x′)2−(y′)2=1.
例3 （1）类似地，将三维空间直角坐标系 ( o i j k ) (oijk) (oijk)绕着 k k k逆时针旋转 θ \theta θ角得到 ( o i ′ j ′ k ′ ) (oi^\prime j^\prime k^\prime) (oi′j′k′)，从 i , j , k i,j,k i,j,k到 i ′ , j ′ , k ′ i^\prime,j^\prime,k^\prime i′,j′,k′的过渡矩阵为：
A = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] , A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta& 0\\\sin\theta &\cos\theta& 0\\0&0&1\end{bmatrix}, A=⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤,
(2)将三维空间沿着 x o y xoy xoy平面反射的过渡矩阵为：
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} ⎣⎡10001000−1⎦⎤
例4 在 P 4 P^4 P4中，求由基 ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 \displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4 ε1,ε2,ε3,ε4到基 η 1 , η 2 , η 3 , η 4 \eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4 η1,η2,η3,η4的过渡矩阵, 其中
{ ε 1 = ( 1 , 2 , − 1 , 0 ) ε 2 = ( 1 , − 1 , 1 , 1 ) ε 3 = ( − 1 , 2 , 1 , 1 ) ε 4 = ( − 1 , − 1 , 0 , 1 ) , { η 1 = ( 2 , 1 , 0 , 1 ) η 2 = ( 0 , 1 , 2 , 2 ) η 3 = ( − 2 , 1 , 1 , 2 ) η 4 = ( 1 , 3 , 1 , 2 ) . \begin{cases}\varepsilon_1=(1,2,-1,0)\\\varepsilon_2=(1,-1,1,1)\\\varepsilon_3=(-1,2,1,1)\\\varepsilon_4=(-1,-1,0,1)\end{cases}, \begin{cases}\eta_1=(2,1,0,1)\\\eta_2=(0,1,2,2)\\\eta_3=(-2,1,1,2)\\\eta_4=(1,3,1,2)\end{cases}. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ε1=(1,2,−1,0)ε2=(1,−1,1,1)ε3=(−1,2,1,1)ε4=(−1,−1,0,1),⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧η1=(2,1,0,1)η2=(0,1,2,2)η3=(−2,1,1,2)η4=(1,3,1,2).
分析：令 A = ( ε 1 T , ε 2 T , ε 3 T , ε 4 T ) \displaystyle A=(\varepsilon_1^T,\varepsilon_2^T,\varepsilon_3^T,\varepsilon_4^T) A=(ε1T,ε2T,ε3T,ε4T), B = ( η 1 T , η 2 T , η 3 T , η 4 T ) . \displaystyle B=(\eta_1^T,\eta_2^T,\eta_3^T,\eta_4^T). B=(η1T,η2T,η3T,η4T).问题转化为矩阵方程 B = A X B=AX B=AX, 这个矩阵方程的解法如下.
[ A B ] → [ E A − 1 B ] \begin{bmatrix}A& B\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}E& A^{-1}B\end{bmatrix} [AB]→[EA−1B]
X = A − 1 B . X=A^{-1}B. X=A−1B.
解： 略.
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