hdu5698 瞬间移动
如图所示，对每个方格进行编号，格式为(a,b)。上图方格的范围为(1,1)到(3,3)。令每个方格的值为瞬移到该方格的方案总数，例如
(1,1) = 1; (3,3) = 6。设范围从(j,k)到(n,m)的方格的值的和为SUM{(j,k),(n,m)}，例如上图中所有方格的值的和为SUM{(1,1),(3,3)}。
定理1：任意一方格的值为该方格左上方所有方格的的值的和再加1，记作：(n,m) = SUM{(1,1),(n-1,m-1)} + 1
证明：为了到达某一方格，可以从出发点直接瞬移到该方格，也可以从该方格左上方的任一方格瞬移到该方格。
定理2：任意一方格的值等于该方格左边和上边的方格的值的和，记作：(n,m) = (n-1,m) + (n,m-1)
证明：
(n-1,m) = SUM{(1,1),(n-2,m-1)} + 1 = SUM{(1,1),(n-2,m-2)} + SUM{(1,m-1),(n-2,m-1)} + 1
(n,m-1) = SUM{(1,1),(n-1,m-2)} + 1 = SUM{(1,1),(n-2,m-2)} + SUM{(n-1,1),(n-1,m-2)} + 1
(n,m) = SUM{(1,1),(n-1,m-1)} + 1 = SUM{(1,1),(n-2,m-2)} + SUM{(1,m-1),(n-2,m-1)} + SUM{(n-1,1),(n-1,m-2)} + (n-1,m-1) + 1
∵(n-1,m-1) = SUM{(n-1,1),(n-1,m-2)} + 1
∴(n,m) = 2*SUM{(1,1),(n-2,m-2)} + SUM{(1,m-1),(n-2,m-1)} + SUM{(n-1,1),(n-1,m-2)} + 2 = (n-1,m) + (n,m-1)
根据定理2，不难看出，这样的矩阵实际上是一个杨辉三角，如下图所示：
由此可得
定理3：(n,m) = C(n+m-2,m-1) ，即从(n+m-2)个元素中选出(m-1)个组合
该定理的证明留作习题。
代码实现：
待续。。。