欧拉函数

欧拉函数φ(n)是1~n-1的与n互质的数的个数

欧拉函数公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*...*(1-1/pn)；这里的pi是n的所有质因数，n>0。

欧拉定理：若n为素数，φ(n)=n-1。

若n的另一个素数p的a次幂，φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)，比p^a小的数有p^a-1个，那么有p^(a-1)-1个数能被p所整除(1~p^a-1中p的倍数一共p^(a-1)-1个)。φ(p)=p^a-1-(p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1)。

如果n为任意两个数a和b的积，那么φ(a*b)=φ(a)*φ(b)

若n为奇数，则φ(2n)=φ(n);

我们可以把欧拉函数的通式改写为:φ(n)=(n-n*p1)...(1-1/pn)，然后下面的欧拉函数的程序应该就好理解了。

int euler(int n) {
    int ret = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if(n % i == 0) {
            ret -= ret / i;
            while(n % i == 0) {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if(n > 1)
        ret -= ret / n;
    return ret;
}

第一个找到的i一定是质因数，while(n%i==0)n/=i;是完全消除i这个质因子（参考n=(p1^a1)*(p2^a2)*……*(pk^ak) (为N的分解式)，pi是质因子）。

还有素数表实现的代码：

    先把50 000以内的素数用筛选法选出来并保存，以方便欧拉函数使用，这样，在不考虑筛选法的时间复杂度，而单纯看欧拉函数，其复杂度为O（x），x为O(√¯n）以内素数的个数。

bool boo[50000];
int p[20000];
void prim() {
    boo[0] = boo[1] = 1;
    int k = 0;
    for(int i = 2; i < 50000; i++) {
        if(!boo[i])
            p[k++] = i;
        for(int j = 0; j < k && i * p[j] < 50000; j++) {
            boo[i * p[j]] = 1;
            if(!(i % p[j]))
                break;
        }
    }
}
int phi(int n) {
    int rea = n;
    for(int i = 0; p[i]*p[i] <= n; i++) //对于一些不是素数的可不遍历
        if(n % p[i] == 0) {
            rea = rea - rea / n;
            do
                n /= p[i];
            while(n % p[i] == 0);
        }
    if(n > 1)
        rea = rea - rea / n;
    return rea;
}

有时候我们遇见频繁调用欧拉函数的题时，我们通常回预处理所有欧拉函数出来，用下面的递推式。

void euler() {
    for(int i = 2; i < maxn; i++) {
        if(!phi[i])
            for(int j = i; j < maxn; j += i) {
                if(!phi[j])
                    phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
    }
}

另有一些题目中可能用的性质  转自劢臻佳境

N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2*M*eular(N)。

若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);