洛谷P2480 [SDOI2010]古代猪文

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　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=2480

题解

　　大型数论综合题。出题人太神辣！
　　回顾起来，这道题的套路真的是登峰造极。
　　概括一下题目，就是让你求
　　

x=∑d|NCdNans=Gx mod 999911659

　　首先注意到一个问题，x可能会很大很大，而答案中它竟然做指数！高精？明显会炸。这里很神地使用了费马小定理 ap−1 mod p=1 ，于是我们将指数对 p−1 取膜
　　

ans=Gx mod (999911659−1)

　　现在问题转成，求 x mod 999911658
　　 C 计算里有除法，就要用逆元，明显这个合数必须被拆成素数
　　

999911659=2×3×4679×35617

　　现在就可以用 laces 求组合数了。
　　约数可以根号找，总的时间复杂度 O(N−−√logNp)
　　最后注意一点，如果G=999911659，那么费马小定理将不成立，要特判(第20个测试点)。

代码

//卢卡斯定理+费马小定理+中国剩余定理
#include 
#include 
#define ll long long
using namespace std;
ll a[5], m[5], N, G, frac[1000000];
inline void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    ll xx, yy;
    exgcd(b,a%b,xx,yy);
    x=yy, y=xx-a/b*yy;
}
inline ll inv(ll a, ll p)
{
    ll x, y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x+p)%p;
}
inline ll C(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m>n)return 0;
    return frac[n]*inv(frac[n-m]*frac[m]%p,p)%p;
}
inline ll lacus(ll n, ll m, ll p)
{
    if(n==0)return 1;
    return lacus(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}
inline ll calc(ll p)
{
    ll x=0, i;
    frac[0]=1;
    for(i=1;i<=p;i++)frac[i]=frac[i-1]*i%p;
    for(i=1;i<=N;i=N/(N/i)+1)
    {
        if(N%(N/i))continue;
        x=(x+lacus(N,N/i,p))%p;
    }
    return x;
}
inline ll CRT(ll *a, ll *m, ll n)
{
    ll M=1, i, ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)M*=m[i];
    for(i=1;i<=n;i++)ans=(ans+a[i]*(M/m[i])%M*inv(M/m[i],m[i])%M)%M;
    return ans;
}
inline ll pow(ll a, ll b, ll p)
{
    ll t, ans;
    for(t=a,ans=1;b;b>>=1,t=t*t%p)if(b&1)ans=ans*t%p;
    return ans;
}
int main()
{
    ll i, x;
    scanf("%lld%lld",&N,&G);
    if(G==999911659)
    {
        if(N==1)printf("1\n");
        else printf("0\n");
        return 0;
    }
    m[1]=2, m[2]=3, m[3]=4679, m[4]=35617;
    for(i=1;i<=4;i++)a[i]=calc(m[i]);
    x=CRT(a,m,4);
    printf("%lld",pow(G%999911659,x,999911659));
    return 0;
}