群论及置换学习

群是一种代数结构,由一个集合S和二元运算(通常记作*)组成
群满足乘法封闭性质,结合律,单位元及逆元
群的性质:单位元唯一,每个元素逆元唯一,消去律

用群的概念巩固已有知识

为什么不能用树状数组维护区间最值?
回顾树状数组, 需要一个区间相减的操作
这一步其实是需要逆元的存在
而线段树, 只有区间合并, 不要求逆元的存在
只要维护的内容符合群的结构, 就可以用树状数组
求和 Xor 模质数无0乘积
整数和max(min)构成的二元组, 不是一个群(因为逆元不存在)

置换

置换的本质是一一对应的函数关系

Burnside’s Lemma

对于一个置换f,若一个染色方案s经过置换后不变,称s为f的不动点。将f的不动点数目记为C(f),则可以证明等价类数目为所有C(f)的平均值。
如上图(图片来自百度百科“burnside引理”)所示,对于四个置换{逆时针旋转0°,逆时针旋转90°,逆时针旋转180°,逆时针旋转270°},其不动点数分别为16, 2, 4, 2。所以等价类数目为(16+2+4+2)/4 = 6。

Polya定理

本质就是Burnside’s Lemma

置换与Swap操作

给定一个置换,我们需要使用多少次Swap才能完成这个置换?
考虑一个圈,如多少次swap才能完成(0,1,2,3,4,5)? 5次
总次数=大小 - 圈数
置换也可以拆分

例题

UVA10294 LA3641 UVA11077 UVA10601 UVA11774 UVA1330
SGU 282 Isomorphism
[HNOI2008]Cards

习题

[AHOI2002]黑白瓷砖
[HNOI2010]物品调度
[POI2009]SLO-Elephants
[SHOI2006]有色图
[HNOI2009]图的同构记数
SPOJ Transportation is FUN

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