乘法逆元的求法


1.乘法逆元:如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1(a与p互质),则称a关于模p的乘法逆元为x。

2..费马小定理

假如a是一个整数,p是一个质数,那么是p的倍数,可以表示为

   

3.

扩展欧几里得

已知整数a、b,扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时,能找到整数x、y(其中一个很可能是负数),使它们满足贝祖等式


好了,在明白上面的定理后我们开始分析乘法逆元:ax≡1 (mod p) 这个等式用中文描述就是 a乘一个数x并模p等于1,即 a%p*x%p=res,res%p=1;看上去就是同余定理的一个简单等式。

为什么可以用费马小定理来求逆元呢?

由费马小定理 ap-1≡1 , 变形得 a*ap-2≡1(mod p),答案已经很明显了:若a,p互质(条件),因为a*ap-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=ap-2(mod p),用快速幂可快速求之。


为什么可以用扩展欧几里得求得逆元?

ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1,为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元,y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。


知道逆元怎么算之后,那么乘法逆元有什么用呢?

做题时如果结果过大一般都会让你模一个数,确保结果不是很大,而这个数一般是1e9+7,而且这个数又是个素数,加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果,但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数,如果原本的结果中有除法,比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。(除一个数等于乘它的倒数,虽然这里的逆元不完全是倒数,但可以这么理解,毕竟乘法逆元就是倒数的扩展)。


扩展欧几里得算法求乘法逆元(p为非质数时)

#include
#include
#include
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}
int main()
{
    long long a,p,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&p)!=EOF)
    {
        long long g=exgcd(a,p,x,y);
        if(g==1)
            cout<<(x+p)%p<

费马小定理(p为质数时)

#include
#include
#include
using namespace std;
long long quick_mod(long long a,long long b,long long m)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*a)%m;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%m;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    long long a,p;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&p)!=EOF)
    {
        cout<




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