扩展欧几里德

定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。
定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。
定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
证明：上述同余方程等价于ax + by = c，如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了！（X % r可能是负值，此时保持在[-(r-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内，所以再模一下r就在[0, r-1]内了）。

证明过程：

设：a>b。 　

推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0;  //推理1 　　推理2，ab!=0 时 　　设 ax1+by1=gcd(a,b); 　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); 　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); 　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; 　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; 　　根据恒等定理得：x1=y2 ,y1=x2-(a/b)*y2;//推理2

数推证明：

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。

47=30*1+17 30=17*1+13 17=13*1+4 13=4*3+1 然后把它们改写成“余数等于”的形式 17=47*1+30*(-1) //式1 13=30*1+17*(-1) //式2 4=17*1+13*(-1) //式3 1=13*1+4*(-3) 然后把它们“倒回去” 1=13*1+4*(-3) //应用式3 1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3) 1=13*4+17*(-3) //应用式2 1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3) 1=30*4+17*(-7) //应用式1 1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7) 1=30*11+47*(-7) 得解x=-7, y=11。

递归式代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

非递归是代码：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
    int x1,y1,x0,y0;
    x0=1; y0=0;
    x1=0; y1=1;
    x=0; y=1;
    int r=m%n;
    int q=(m-r)/n;
    while(r)
    {
        x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
        x0=x1; y0=y1;
        x1=x; y1=y;
        m=n; n=r; r=m%n;
        q=(m-r)/n;
    }
    return n;
}