快速幂和矩阵快速幂

这篇博客讲的比较详细，关于快速幂和矩阵快速幂的。

http://blog.csdn.net/hikean/article/details/9749391

快速幂

快速幂就是计算a^n时，能使复杂度从O(n)降到O(logn)。
它的原理是这样的：
将n写成2进制形式，比如，求a^9。9的二进制写法为 1001，即
从最后一位开始看，是1，所以计算a^1，并加入到结果中，然后看倒数第二位，为0，只计算a^2，然后看倒数第三位，是0，同样只计算a^4，这时只需要利用上面的a^2结果，进行一次乘法即可。再看倒数第四位，为1，就计算a^8，并将其加入到最后结果中，只需要利用前面的a^4进行一次乘法计算即可。这样，结果中就是a^9的数了。
下面直接用代码说明它的意思：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define mod 1000000007  //一般数都会很大，所以取模  而且类型都是long long类型的
long long pow(int base, int n) //要计算 base^n
{
    long long ans = 1;
    long long multi = base;
    long long temp = n;
    while (temp > 0)
    {
        if (temp % 2 == 1)
            ans = (ans * multi);
        ans %= mod;
        multi *= multi;
        multi %= mod;
        temp /= 2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int base = 5, n = 3;  //求base^n
    cout << pow(5, 10000) << endl;
    return 0;
}

矩阵快速幂

矩阵快速幂就是求矩阵的n次方，也使复杂度大大降低。一般这种情况下都会有一个递推式，比如斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2).

所以，计算那个矩阵的n-1次方，然后确定出f(1)和f(2)的系数，就可以快速求出f(n)。
但是，这种斐波那契递推式是最简单的，很多题目中会加一些变量,题目的难点就是确定出这个矩阵。
比如：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+n^3。这需要先推导一下，使
n^3=(n-1+1)^3=(n-1)^3+3*(n-1)^2+3*(n-1)+1

根据上述公式，确定要求的矩阵的幂指数，然后组合一下，就可以得到f(n)了。矩阵快速幂的代码在最下面给出。
除了这种递推式，还有一种类型是求前n项和。比如像上题，不要求求f(n),而是求f(1)+f(2)+……f(n),这样只需要在两个向量的最下边加上sum，构造一个7*7的矩阵，就可以了。还有那种求第i项到第n项的和，这时可以求S(n)-S(i-1)，把它当做递推式。
下面代码是刚才6*6矩阵的那个题：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define mod 1000000007  //一般数都会很大，所以取模  而且类型都是long long类型的
#define num 6
struct matrix //定义矩阵
{
    long long a[num][num];
    void init(){
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (int i = 0; i < num; i++)
            a[i][i] = 1;   //初始化为单位矩阵
    }
};
matrix mul(matrix x, matrix y)
{
    matrix c;
    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
        for (int j = 0; j < num; j++)
        {
            long long temp = 0;
            for (int k = 0; k < num; k++)
            {
                temp += x.a[i][k] * y.a[k][j];
                temp %= mod;
            }
            c.a[i][j] = temp%mod;
        }
    }
    return c;
}
matrix pow(matrix base, long long n) //要计算 base^n
{
    matrix ans;
    ans.init();  //首先初始化为方阵
    matrix multi = base;
    long long temp = n;
    while (temp > 0)
    {
        if (temp % 2 == 1)
            ans = mul(ans, multi);
        multi = mul(multi, multi);
        temp /= 2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    matrix base;
//  {{ 1, 1, 1, 3, 3, 1 },
//  { 1, 0, 0, 0, 0, 0 },
//  { 0, 0, 1, 1, 1, 1 },
//  { 0, 0, 0, 1, 2, 1 },
//  { 0, 0, 0, 0, 1, 1 },
//  { 0, 0, 0, 0, 0, 1 } };
    base.init();  //对数组赋值，只能一个个赋值了，但是因为之前初始化为了方阵，所以可以减轻工作量
    base.a[0][0] = base.a[0][1] = base.a[0][2] = base.a[0][6] = base.a[1][0] = base.a[2][2] = base.a[2][3] = base.a[2][4] = base.a[2][5] = base.a[3][3] = base.a[3][5] = base.a[4][4] = base.a[4][5] = base.a[5][5] = 1;
    base.a[0][3] = base.a[0][4] = 3;
    base.a[3][4] = 2;
    base.a[1][1] = 0;   
    long long n = 440;  //求base^n
    matrix t = pow(base, n);
    long long fn = 0;
    int fn1 = 5, fn2 = 4, n3 = 1, n2 = 6, n1 = 8, n00 = 5;
    int f[num] = { fn1, fn2, n3, n2, n1, n00 };
    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
        fn += t.a[0][i]%mod * f[i]%mod;
        fn %= mod;
    }
    cout << fn << endl;
    return 0;
}