[BZOJ3118]-Orz the MST-单纯形

说在前面

单纯形的时间复杂度，简直不可理喻

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题目

BZOJ3118传送门

题目大意

给出一个N个点M条边的无向图，边有边权
现在me在这个图上，钦定一棵最小生成树，当然这个边权可能是不符合的
所以现在有两种操作：
给第 i i 条边边权 +1 + 1 ，花费 Ai A i
给第 i i 条边边权 −1 − 1 ，花费 Bi B i
Ai,Bi A i , B i 可能不同
现在寻求一种花费最小的方式，使得me钦定的那棵树成为最小生成树

点数 ≤300 ≤ 300 ，其余所有数字 ≤1000 ≤ 1000

输入输出格式

输入格式：
第一行两个整数N和M，含义如题
接下来M行，每行六个整数 u,v,len,FFi,Ai,Bi u , v , l e n , F F i , A i , B i
其中， u,v u , v 表示这条边的端点， len l e n 表示边权， FFi F F i 表示是否在树中，为 1 1 则在， Ai,Bi A i , B i 如题

输出格式：
输出一个整数表示答案

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解法

还是想说这个复杂度= =
一条非树边，满足这条边与MST所形成的环中，这条边的权值最大
所以我们就让每条非树边都达成这个成就

对于修改操作，可以发现一定是这样的：树边只会减少，非树边只会增加
由此可以列出一个线性规划式

但是发现它并没有初始解（因为形如 xi+xj≥lenj−leni x i + x j ≥ l e n j − l e n i ， j j 是树边）
不过呢，它的最优化条件是这样： ∑feeixi ∑ f e e i x i 求最小值
所以它对偶一下之后，就直接是个标准型了，直接上单纯形法就可以了

附：关于整数规划的问题
这个题是一个整数规划，而单纯形法是用于实数规划的
不过呢，根据VFleaKing和hzhwcmhf两位前辈在贴吧上提到的内容，如果系数矩阵（就是 aij a i j ）是个全幺模矩阵（定义：全幺模矩阵的任何子方阵的行列式等于1，-1或0），那么就一定存在一组整数解，它与实数最优解一样优秀。VKF那个帖子的传送门。另外，16年的论文的第89页里也有简单提到
而这个题在对偶之后，显然可以得到这是一个全幺模矩阵，于是直接单纯形就好了

那么如何判定全幺模矩阵呢？
这个矩阵必须同时满足（充分不必要）：

1. 所有数字全是 0,1,−1 0 , 1 , − 1 中的一个
2. 将矩阵的行划分为两个不相交集合 N，M满足：
   
   • 每列最多2非0元素
   • 若1列上有2个异号元素 那么它们分别属于N M
   • 若1列上有2个同号元素 那么它们同时属于N 或 M

或者：这个题可以用网络流做（当然这个条件没什么用）
另外hzhwcmhf提到，如果有一种列的排列能使得每行的1是连续的，那么也是全幺模的

另外的性质：
一个矩阵的转置是全幺模矩阵的话，那么它自己也是全幺模
如果行与行，列与列交换之后是全幺模，那么它自己也是全幺模

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下面是玄学代码

另外，这道题原形是BZOJ1937: [Shoi2004]Mst 最小生成树，不过这道题空间只有64M
不不不，我们只需要适当的猜测一下，大概有多少限制就可以了（3118这道题据说保证了限制不多于超过4000？）
实测把数组开到a[770][9900]可过（就是770条边，每条边一个方程的情况下，最多容许9900条限制）
美滋滋~就是这么玄学~

#include 
#include 
#include 
using namespace std ;

int N , M , cnt_restriction , tp , head[305] ;
double a[1002][30002] , eps = 1e-8 ;

struct Path{
    int pre , to , id ;
} p[605] ;
struct Edge{
    int fr , to , len , A , B , intree ;
    void read_(){
        scanf( "%d%d%d%d%d%d" , &fr , &to , &len , &intree , &A , &B ) ;
    }
} e[1005] ;

int dcmp( double x ){ return x < -eps ? -1 : x > eps ; }

void In( int t1 , int t2 , int id ){
    p[++tp] = ( Path ){ head[t1] , t2 , id } ; head[t1] = tp ;
    p[++tp] = ( Path ){ head[t2] , t1 , id } ; head[t2] = tp ;
}

int fa[305] , pid[305] , dep[305] ;
void dfs( int u , int f ){
    for( int i = head[u] ; i ; i = p[i].pre ){
        int v = p[i].to ;
        if( v == f ) continue ;
        dep[v] = dep[u] + 1 ;
        pid[v] = p[i].id ;
        fa[v] = u , dfs( v , u ) ;
    }
}

void Build( int u , int v , int id ){
    int tu = u , tv = v , Lca ;
    while( u != v ){
        if( dep[u] > dep[v] ) u = fa[u] ;
        else v = fa[v] ;
    } Lca = u , u = tu , v = tv ;
//  printf( "now (%d %d) Lca(%d)\n" , tu , tv , Lca ) ;
    while( u != Lca ){
        cnt_restriction ++ ;
        a[0][cnt_restriction] = e[ pid[u] ].len - e[id].len ;
        a[id][cnt_restriction] = a[ pid[u] ][cnt_restriction] = - 1 ;
        u = fa[u] ;
    }
    while( v != Lca ){
        cnt_restriction ++ ;
        a[0][cnt_restriction] = e[ pid[v] ].len - e[id].len ;
        a[id][cnt_restriction] = a[ pid[v] ][cnt_restriction] = - 1 ;
        v = fa[v] ;
    }
}

void preWork(){
    dfs( 1 , 1 ) ;// puts( "emmm?" ) ;
    for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )
        if( !e[i].intree ){
            Build( e[i].fr , e[i].to , i ) ;
            a[i][0] = e[i].A ;
        } else a[i][0] = e[i].B ;
}

void pivot( int r , int c ){ // here , r is Basis while c is not ;
    double tmp = - a[r][c] ; a[r][c] = -1 ;
    for( int i = 0 ; i <= cnt_restriction ; i ++ ) a[r][i] /= tmp ;
    for( int i = 0 ; i <= M ; i ++ ){
        if( dcmp( a[i][c] == 0 ) || i == r ) continue ;
        tmp = a[i][c] , a[i][c] = 0 ;
        for( int j = 0 ; j <= cnt_restriction ; j ++ )
            a[i][j] += tmp * a[r][j] ;
    }
}

void solve(){
//  printf( "enter !\n" ) ;
    while( true ){
        int x = 0 , y = 0 ;
        double rem = 1e10 ;
        for( int i = 1 ; i <= cnt_restriction && !x ; i ++ )
            if( a[0][i] > eps ) x = i ;
        if( !x ) break ;
        for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )
            if( a[i][x] <-eps && rem > - a[i][0] / a[i][x] )
                rem = - a[i][0] / a[i][x] , y = i ;
        pivot( y , x ) ;
    } printf( "%.0f" , a[0][0] ) ;
}

int main(){
    scanf( "%d%d" , &N , &M ) ;
    for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ ){
        e[i].read_() ;
        if( e[i].intree ) In( e[i].fr , e[i].to , i ) ;
    } preWork() ; solve() ;
}