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生成函数

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1.前言

2.必要知识

2.1形式幂级数

2.1.1概念

2.1.2特点

2.1.3运算

2.1.4关于形式幂级数的（群的）逆元和单位元

2.2齐次方程与非齐次方程

2.2.1概念

2.2.2举例

3.生成函数

3.1普通型母函数

3.1.1定义

3.1.2常见普通型母函数

3.1.3定理一

3.1.4例子

3.2指数型母函数

3.2.1定义

3.2.2常见指数型母函数

3.2.3定理二

3.2.4例子

4.由递推关系求通项公式的几个方法

4.1递推关系的定义

4.2求解方法

4.2.1迭代法

4.2.2母函数法

4.2.3特征根法

5.参考文献

1.前言

本文主要讨论两类生成函数（普通型母函数和指数型母函数），除此之外，还研究了通过数列递推式导出数列通项公式的方法。

2.必要知识

2.1形式幂级数

2.1.1概念

设一个数列（序列) 为 ,

则的形式幂级数是 $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f(n) \cdot x^n$

2.1.2特点

形式幂级数有以下两个特点：

特点一

形式幂级数不关心的值

特点二

形式幂级数不关心收敛和发散，即对的收敛和发散不做要求

2.1.3运算

形式幂级数的运算是在把在 $n \rightarrow \infty$ 时看作收敛的情况的基础上进行的的。

形式幂级数的运算主要有以下三种，在此之前，我们先使用一些初始设定：

设是两个关于的数列（序列），

设的形式幂级数是 $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a(n) \cdot x^n$ ，

设的形式幂级数是 $B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b(n) \cdot x^n$

相等运算

若 $\forall x>0, \ a(n) = b(n)$ , 那么

相加运算

$A(x)+B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (a(n)+b(n)) \cdot x^n$

除此之外，还满足交换律和结合律

相乘运算

$A(x) \cdot B(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c(n)\cdot x^n$

其中， $c(n)=\sum_{k=0}^{n}a_k \cdot b_{n-k}$ （对加法也满足分配律）

是序列和的柯西乘积

2.1.4关于形式幂级数的（群的）逆元和单位元

单位元

形式幂级数的单位元是1（数字）

逆元

一、概念

设 $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a(n)\cdot x^n$ ，

若存在 $B(x) = \sum_{n=0}^{\infty}b(n)\cdot x^n$ ，满足 $A(x) \cdot B(x)$ ,

则是关于的逆元

二、逆元的充要条件

有逆元的充要条件是 $a(0) \neq 0$

三、逆元的唯一性

若有逆元，则逆元唯一，即是唯一的

2.2齐次方程与非齐次方程

2.2.1概念

设方程 $a_1x_1^{k_1}+a_2x_2^{k_2}+...+a_nx_n^{k_n}=f(n)$

则为齐次方程的充要条件是：

条件一：

条件二：

2.2.2举例

对某个元一次常系数方程：

一、齐次方程

若中 ,那么是齐次方程

二、非齐次方程

若中 $f(n) \neq 0$ , 那么是非齐次方程

3.生成函数

生成函数也叫做母函数，它是一个数列（序列)的一种形式幂级数。其中，每一项的系数分别代表着组合方法数（针对这一项的次数）。母函数主要分为两类：普通型母函数和指数型母函数。

3.1普通型母函数

普通型母函数是针对组合问题而言的

3.1.1定义

有两种类型的普通型母函数：

一、单下标序列的母函数

对序列，有普通型母函数 $A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a(n) \cdot x^n$ 。

二、双下标序列的母函数（可以引申至更多）

对序列，有普通型母函数 $A(x_1,x_2)= \sum_{n=0}^{\infty} a(n,m) \cdot x_1^{n} \cdot x_2^{m}$

3.1.2常见普通型母函数

对序列 $a(n,m) = \binom{n}{m},m \in [0,n]$ （固定），

有普通型母函数 $A(x)= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot x^k = (1+x)^n$

对序列 $F(n) = \frac{1}{\sqrt 5} \cdot ((\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n)$ , 即斐波那契数列，

有普通型母函数 $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty}F(n) \cdot x^n = \frac{1}{1-x-x^2}$

对序列

有普通型母函数 $A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a(n) \cdot x^n = \frac{1}{1-x}$

对序列 ,

有普通型母函数 $A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a(n) \cdot x^n = \frac{1}{(1-x)^2}$

对序列 $a(n,m)=\begin{cases} 1 & \text{ if } n=1 \\ \frac{m \cdot (m+1)\cdot (m+2)\cdot ... \cdot (n-2)}{(n-1)!} & \text{ if } n>1 \end{cases}$ ( 固定)

有普通型母函数 $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a(n,m) \cdot x^n = \frac{1}{(1-x)^m}$

3.1.3定理一

设从元集合 $={a_1,a_2...a_n}$ 中取个元素的组合叫做 , 限定元素出现的次数是 $(1\leqslant i\leqslant n)$

那么的组合数序列的普通型母函数是 $\prod_{i=1}^{n}(\sum_{m \in M_i} x_m)$

3.1.4例子

有重量为1,3,5（克）的砝码个两个，问：

(1)可以称出多少种不同重量的物品？

(2)若要称出重量为7克的物品，所使用的法码有多少种本质不同的情况？

解：

第一问：

根据定理一，设（普通型）生成函数 $G(x)=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6)(1+x^5+x^{10})$

其中，表示不用重量为克的砝码，表示使用个重量为克的砝码，表示使用两个重量为克的砝码....以此类推

展开为 $G(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+2x^5+2x^6+2x^7+...+x^{18}$ ,

因此，可以称出种不同重量的物品

第二问：

由第一问的展开式可知答案为

3.2指数型母函数

指数型母函数是针对多重元素的排列问题而言的

3.2.1定义

对序列，有指数型母函数 $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a(n) \cdot \frac{x^n}{n!}$

对于多下标同理

3.2.2常见指数型母函数

对序列

有指数型母函数 $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$

对序列

有指数型母函数 $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty}p^n\cdot\frac{x^n}{n!}=e^{px}$

对序列 $a(n)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x=0,2,4.. \\ 0 & \text{ if } x=1,3,5.. \end{cases}$

有指数型母函数 $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}[n\%2=0]=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

对序列 $a(n)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x=1,3,5.. \\ 0 & \text{ if } x=0,2,4.. \end{cases}$

有指数型母函数 $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}[n\%2=1]=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

3.2.3定理二

从多重集合 $M=\{ \infty \cdot a_1,\infty \cdot a_2,...\infty \cdot a_n\}$ 中选择个元素的排列中，若限定元素的出现次数集合为 $(1\leqslant i\leqslant n)$ , 在该组合数的指数型母函数是 $\prod_{i=1}^{n}(\sum_{m \in M_i}\frac{x^m}{m!})$

3.2.4例子

由这四个数字能构成多少个五位数？并且要求五位数中出现两次或三次，最多出现一次，出现偶数次。

解：

出现两次或三次，对应的母函数是： $\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}$

最多出现一次，对应的母函数是： $1+\frac{x}{1!}$

出现的次数不做要求，对应的母函数是： $1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...=e^x$

出现偶数次，对应的母函数是： $1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

设五位数的组合数的指数型母函数是

则 $G(x) = (\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!})(1+\frac{x}{1!})(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+...)(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+..)$

$\Rightarrow \frac{1}{2}(\frac{1}{6}x^2(3+4x+x^2))\cdot e^x\cdot (e^x+e^{-x})$

$\Rightarrow \frac{1}{12} \cdot 5! \cdot (3 \cdot \frac{2^3}{3!}+4\cdot \frac{2^2}{2!}+1\cdot \frac{2^1}{1!})$

$\Rightarrow 140$

4.由递推关系求通项公式的几个方法

4.1递推关系的定义

递推关系由递推方程和初始条件构成

其中，递推方程是形如 ,即由数列的相邻项或者间隔项构成的方程

初始条件是形如：

4.2求解方法

4.2.1迭代法

$\begin{cases} a_n=2a_{n-1}+1 \\ a_1=1 \end{cases}$ ，求

$a_n=2_{n-1}+1=2(a_{n-2}+1)+1=2(...)+1=2^n-1$

4.2.2母函数法

$\begin{cases} a_n=2a_{n-1}+1 \\ a_1=1 \end{cases}$ ，求

$\because$

$\therefore a_0=0$

设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(2a_{n-1}+1)x^n=2\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^n+\sum_{n=1}^{\infty}x^n$

$\Rightarrow 2x\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n+\sum_{n=1}^{\infty}x^n$

$\Rightarrow 2xf(x)+\frac{x}{1-x}$

$\Rightarrow f(x)=\frac{x}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n-\sum_{n=0}^{\infty}x^n$

$\Rightarrow f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(2^n-1)x^n$

$\therefore a(n)=2^n-1$

4.2.3特征根法

一、介绍一些概念

概念一：若 $\{ a_n \}$ 满足 $a_n+b_1a_{n-1}+b_2a_{n-2}+...+b_ka_{n-k}=f(n)$

$\{b_n \}$ 为常数，且 $b_k \neq 0$ , 为已知函数

则 $\{ a_n \}$ 为阶常系数线性递推关系

概念二：若 , 则 $\{ a_n \}$ 为阶常系数齐次递推关系

概念三：的特征方程是： $x^k+b1x^{k-1}+b2x^{k-2}+...+b_{k-1}x+b_k=0$

二、分具体情况的不同解法

1.齐次常系数线性递推关系解法

情况一：

有个相异实根，设这个实根的集合为 $=\{x_1,x_2..x_k \}$

则递推关系的通解（通项公式）为：

其中， $\{c_n \}$ 为常数集

若给出了个初始条件，则 $\{c_n \}$ 唯一，进而得到的唯一表达式

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例子：

$\begin{cases} F_n=F_{n-1}+F_{n-2} & \\ F_1=1,F_0=1 & \end{cases}$

解：

特征方程是 ,得到两个相异实根： $x_1=\frac{1+\sqrt5}{2},x_2=\frac{1-\sqrt5}{2}$

$\therefore F_n=c1(\frac{1+\sqrt5}{2})^n+c2(\frac{1-\sqrt5}{2})^n$

将初始条件带入，得到： $c_1=\frac{1}{\sqrt 5},c_2=-\frac{1}{\sqrt 5}$

$\therefore F_n=\frac{1}{\sqrt 5}(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-\frac{1}{\sqrt 5}(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n$

情况二：

出现一对共轭复根：

则通解为（通项公式）为： $a_n=c1 \cdot \rho^n \cdot cos\ n\theta+c_2 \cdot \rho ^n\cdot sin \ n \theta+c_3x_3^n+..+c_kx_k^n$

其中， $\rho = \sqrt{ a^2+b^2}$ , $\theta = arctan \ \frac{b}{a}$ （复数的模长和角）， $\{c_n \}$ 为常数集

若给出一组个初始解，那么 $\{c_n \}$ 唯一，进而得到的唯一表达式

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例子：

$d_n=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 &0 .& .& . &. & . & 0 & \\ 1& 1& 1& & & & & & 0& \\ 0& 1 & 1& 1& & & & & 0& \\ .& & 1& 1 & 1 & & & & .& \\ .& & & & & .& & & . & \\ .& & & & & & 1 & 1 & 1 & \\ 0& & . & .& & & & 1 & 1 & \end{bmatrix}$

是一个 $n \times n$ 的矩阵，求

解：

将按照第一行展开，显然可以得到 $d_n=d_{n-1}-d_{n-2}$ ，并且

所以其特征方程为：

解出两个共轭复根： $x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2} i,x_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2} i$

算出 $\rho = \sqrt{a^2+b^2}=1,\theta=arctan \ \frac{b}{a}=\frac{\pi}{3}$

$\therefore$ 其通解为 $d_n=c_1 \cdot cos \ \frac{n\pi}{3} +c_2\cdot sin \ \frac{n \pi}{3}$

$\because d_1=1,d_2=0$

$\therefore$ $c_1=1,c_2=\frac{1}{\sqrt 3}$

$\therefore d_n=cos \ \frac{n\pi}{3}+\frac{sin \ n\pi}{3\sqrt3}$

情况三：

出现重根，在这里我们先设是重根（可以扩展到多个重根)

则有通解（通项公式）为： $a_n=(c_1+c_2n+c_3n^2...+c_kn^{k-1})\cdot a_1^n$

$\{c_n \}$ 为常数集

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例子：

$d_n=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 &0 .& .& . &. & . & 0 & \\ 1& 2& 1& & & & & & 0& \\ 0& 1 & 2& 1& & & & & 0& \\ .& & 1& 2 & 1 & & & & .& \\ .& & & & & .& & & . & \\ .& & & & & & 1 & 2& 1 & \\ 0& & . & .& & & & 1 & 1 & \end{bmatrix}$

是一个 $n \times n$ 的矩阵，求

解：

将按照第一行展开，显然可以得到 $d_n=2d_{n-1}-d_{n-2}$ ，并且

所以其特征方程为：

解出个重根：

$\therefore$ 通解（通项公式）为： $d_n=(c_1+c_2n)\cdot 1^n=c_1+c_2n$

$\because d_1=2,d_2=3$

$\therefore c_1=1,c_2=1$

$\therefore d_n=1+n$

2.非齐次常系数线性递推关系解法

的通项公式如下： $a_n=\bar{a_n}+a_n(*)$ ,

其中，是将递推关系看作齐次线性递推关系得到的通解，而 $\bar{a_n}$ 是根据以下情况得到的特解

情况一：

右边是的次多项式，并且是的特征方程的重根

那么，有特解为： $\bar{a_n}=(c_1n^t+c_2n^{t-1}+...+c_tn+c_{t+1})\cdot n^m$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例子：

给定，求 $\sum_{k=1}^{n}k^3$

解：

设 $a_n = \sum_{k=1}^{n}k^3$

那么有 $\begin{cases} a_n-a_{n-1}=n^3 & \\ a_1=1 & \end{cases}$

第一步：将递推关系看成是齐次求解通项公式

得到齐次递推关系： $a_n-a_{n-1}=0$

那么有特征方程：

得到解：

$\therefore$ 其通解（通项公式）为： $a_n(*)=c_1 \cdot 1^n=c_1$

第二步：求出特解

因为是递推关系的重根，

因此有： $\bar{a_n}=(c_1n^3+c_2n^2+c_3n+c_4) \cdot n^1$

代入非齐次递推关系式得到特解： $\bar{a_n}=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2$

$\therefore a_n =\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2+c_1$

由初始值得到：

$\therefore$ $a_n =\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

情况二：

右边是的次多项式，并且不是的特征方程的根

那么，有特解为： $\bar{a_n}=c_1n^t+c_2n^{t-1}+...+c_tn+c_{t+1}$

情况三：

右边是 $c \cdot \beta^n$ 的形式（ $c,\beta$ 是常数）

$\beta$ 不是的特征方程的根，那么由特解： $\bar{a_n}=k \cdot \beta^n$ ( 为常数)

情况四：

右边是 $c \cdot \beta^n$ 的形式（ $c,\beta$ 是常数）

$\beta$ 是的特征方程的根，那么由特解： $\bar{a_n}=k \cdot n^m \cdot \beta^n$ ( 为常数)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

例子：

$\begin{cases} a_n=5a_{n-1}-6a_{n-2}+3\cdot2^n & \\ a_0=0,a_1=1 & \end{cases}$

求

解：

第一步：将递推关系看成是齐次求解通项公式

得到齐次递推关系： $a_n-5a_{n-1}+6a_{n-2}=0$

那么有特征方程：

得到解：

因此，得到通解为： $a_n(*)=c_1\cdot2^n+c_2\cdot3^n$

$\because$ 是非齐次递推关系的重根

$\therefore$ 由特解： $\bar{a_n}=k \cdot n\cdot 2^n$

代入非齐次递推关系式得到特解： $\bar{a_n}=-6n2^n$

$\therefore a_n=c_1 \cdot 2^n+c_2 \cdot 3^n-6n2^n$

由初始值，得到：

$\therefore$ $a_n=-13 \cdot 2^n +13 \cdot 3^n -6n2^n$

5.参考文献

1.https://wenku.baidu.com/view/f4799f98370cba1aa8114431b90d6c85ec3a8807?pcf=2

2.中文wiki母函数

3.信息学奥赛-数学一本通

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题面分析第二类斯特林数将每一位1看作球，元素看作盒子，直接计算。代码#includeusingnamespacestd;usingll=longlong;constintN=1e5+10;constintmod=1e9+7;intfact[N],infact[N];intqmi(inta,intb,intp){intans=1%p;while(b){if(b&1)ans=(ll)ans*a%p;a
牛客周赛 Round 31 F.小红的连续段【隔板法+组合数学】 lianxuhanshu_ 数学算法
原题链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/74362/F时间限制：C/C++1秒，其他语言2秒空间限制：C/C++262144K，其他语言524288K64bitIOFormat:%lld题目描述小红定义一个字符串的“连续段”数量为：相同字符的极长连续子串的数量。例如，"aabbaaa"共有3个连续段："aa"+"bb"+"aaa"。现在，小红希望你求出，长
C#，佩尔数（Pell Number）的算法与源代码深度混淆 C#算法演义 Algorithm Recipes c#算法佩尔数 Pell Number
1佩尔数（PellNumber）佩尔数（PellNumber）是一个自古以来就知道的整数数列，由递推关系定义，与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长，增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算术平方根的近似值以及三角平方数的定义中，也出现在一些组合数学的问题中。2源程序usingSystem;namespaceLegalsoft.Truffer.Algorithm{publicstaticpartia
【基础数学】容斥原理 devil_son1234 基础知识
对容斥原理的描述容斥原理是一种重要的组合数学方法，可以让你求解任意大小的集合，或者计算复合事件的概率。描述容斥原理可以描述如下：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分关于集合的原理公式上述描述的公式形式可以表示如下：它可以写得更简洁一些，我们将
【组合数学】【动态规划】【前缀和】1735生成乘积数组的方案数闻缺陷则喜何志丹 #算法题动态规划算法 c++力扣组合数学前缀和数目
作者推荐【动态规划】【状态压缩】【2次选择】【广度搜索】1494.并行课程II本文涉及知识点动态规划汇总C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频组合数学LeetCode1735生成乘积数组的方案数给你一个二维整数数组queries，其中queries[i]=[ni,ki]。第i个查询queries[i]要求构造长度为ni、每个元素都是正整数的数组，且满足所有元素的乘
【图论】基环树 Texcavator 图论图论
基环树其实并不是树，是指有n个点n条边的图，我们知道n个点n-1条边的连通图是树，再加一条边就会形成一个环，所以基环树中一定有一个环，长下面这样：由基环树可以引申出基环内向树和基环外向树基环内向树如下，特点是每个点的出度为1基环外向树如下，特点是每个点的入度为1下面放点题，做到相关题目随时更新基环树+组合数学CF1454ENumberofSimplePaths先记录环上的点，每个环上的点引出去的子
Catalan数林小果1 数据结构与算法(java实现)算法 java 数据结构
文章目录Catalan数Leecode96不同的二叉搜索树题目描述解题思路代码Leecode22括号生成题目描述代码Catalan数Catalan数是一种组合数学的计数方法，常用于解决一些计数问题，例如括号匹配问题、二叉树的节点问题等。Catalan数的计算公式如下：C0=1,C1=1,C2=2,C3=5,C4=14,C5=42,C6=132,C7=429,C8=1430,C9=4862,C10=
C#，斯特林数（Stirling Number）的算法与源代码深度混淆 C#算法演义 Algorithm Recipes c#算法
1斯特林数在组合数学，斯特林数可指两类数，第一类斯特林数和第二类斯特林数，都是由18世纪数学家JamesStirling提出的。它们自18世纪以来一直吸引许多数学家的兴趣，如欧拉、柯西、西尔沃斯特和凯莱等。后来哥本哈根（Copenhagen）大学的尼尔森（NielsNielsen，1865-1931）提出了"StirlingschenZahlenersterArt"[第一类斯特林数]和"Stirl
C#，欧拉数（Eulerian Number）的算法与源代码深度混淆 C#算法演义 Algorithm Recipes C#算法
1欧拉数欧拉数特指EulerianNumber，不同于Eulernumbers，Euler'snumber哦。组合数学中，欧拉数（EulerianNumber）是从1到n中正好满足m个元素大于前一个元素（具有m个“上升”的排列）条件的排列个数。定义为：计算公式：相关推到：计算结果：2文本格式usingSystem;namespaceLegalsoft.Truffer.Algorithm{publi
C#，洛布数（Lobb Number）的计算方法与源代码深度混淆 C#算法演义 Algorithm Recipes c#算法
1洛布数（LobbNumber）在组合数学中，洛布数（LobbNumber）L(m，n)计算n+m开括号的排列方式，以形成一个有效的平衡括号序列的开始。Lobb数由两个非负整数m和n参数化，其中n>=m>=0。可通过以下方式获得：洛布数（LobbNumber）还用于计算将值+1的n+m个副本和值-1的n–m个副本排列成一个序列的方式的数量，以便序列的所有部分和都是非负的。读取来特别拗口，看代码吧。
C#，德兰诺依数（Dealnnoy Number）的算法与源代码深度混淆 C#算法演义 Algorithm Recipes c#算法
1DealnnoyNumber德兰诺依数，德兰诺伊数德兰诺依数是以法国军官、业余数学家亨利·德兰诺依（HenryDealnnoy）的名字命名。HenryDealnnoy在组合数学中，德兰诺依数描述了从(0,0)到(m,n)的格路问题中，只允许按照(0,1）、(1,0)或者(1,1)的方式来走，一共有多少不同的方案数。DealnnoyNumber的计算公式：计算结果：源程序：2文本格式usingSy
【深度优先搜索】【组合数学】【动态规划】1467.两个盒子中球的颜色数相同的概率闻缺陷则喜何志丹 #算法题算法深度优先 c++力扣组合数学概率颜色
作者推荐【动态规划】【字符串】【行程码】1531.压缩字符串本文涉及知识点动态规划汇总深度优先搜索组合数学LeetCode1467两个盒子中球的颜色数相同的概率桌面上有2n个颜色不完全相同的球，球上的颜色共有k种。给你一个大小为k的整数数组balls，其中balls[i]是颜色为i的球的数量。所有的球都已经随机打乱顺序，前n个球放入第一个盒子，后n个球放入另一个盒子（请认真阅读示例2的解释部分）。
C#，贝尔数（Bell Number）的计算方法与源程序深度混淆 C#算法演义 Algorithm Recipes c#算法
1埃里克·坦普尔·贝尔贝尔数是组合数学中的一组整数数列，以埃里克·坦普尔·贝尔（EricTempleBell）命名，埃里克·坦普尔·贝尔（生于1883年2月7日，苏格兰阿伯丁郡阿伯丁，于1960年12月21日在美国加利福尼亚州沃特森维尔去世），苏格兰裔美国数学家、教育家和作家，对分析数论做出了重大贡献。贝尔在19岁时移民到美国，并立即进入斯坦福大学就读，两年后他在那里获得了学士学位。经过1908年
C#，恩廷格尔组合数（Entringer Number）的算法与源程序深度混淆 C#算法演义 Algorithm Recipes c#算法
恩廷格尔组合数（EntringerNumber）组合数学的序列数字之一。E（n，k）是{1，2，…，n+1}的排列数，从k+1开始，先下降后上升。计算结果：源代码：1文本格式usingSystem;namespaceLegalsoft.Truffer.Algorithm{//////EntringerNumber///Entringer数E（n，k）是{1，2，…，n+1}的排列数，从k+1开始，
数字与数学的基础问题（算法村第十三关青铜挑战）陈星泽SSR 算法村算法
数学的门类很多，涉及的范围很广，很多难度也超大，但是在算法中，一般只会选择各个学科的基础问题来考察，例如素数问题、幂、对数、阶乘、幂运算、初等数论、几何问题、组合数学等等。数字统计专题数组元素积的符号1822.数组元素积的符号-力扣（LeetCode）已知函数signFunc(x)将会根据x的正负返回特定值：如果x是正数，返回1。如果x是负数，返回-1。如果x是等于0，返回0。给你一个整数数组nu
【蓝桥备赛】数组分割——组合数学？ lcx_defender #蓝桥算法蓝桥杯 java c++
题目链接数组分割个人思路两个数组都需要和为偶数，那么就去思考一个数组如何才能和是偶数呢？？数组里肯定要么是奇数要么是偶数，偶数无论有多少个，都不会改变一个数组的奇偶性。但是奇数个奇数的和还是奇数，偶数个奇数的和就会是偶数（这个应该就不用证明了吧）。那么这个问题就被转换为，求数组中奇数的个数！当我们遍历完数组后，获取到数组中奇数与偶数的个数。如果奇数的数量为奇数，那么我们无论怎么去分，都无法将奇数个
数论知识及模板整理 smiling~ 数论模板学习笔记算法
目录一、质数的判定1.试除法判定质数2.质因数的分解3.质数筛选法（埃氏筛法+线性筛）4.米勒罗宾素数检测法（快速判断大质数）二、约数相关（1）试除法求约数（2）求约数个数或约数之和（3）求最大公因数/最小公倍数三、欧几里得算法（1）扩展欧几里得算法（2）线性同余方程四、快速幂（1）快速幂算法（2）大数快速幂（降幂公式）（3）快速幂求逆元（费马小定理）五、欧拉函数六、组合数学七、高斯消元八、容斥原
＜蓝桥杯软件赛＞零基础备赛20周--第15周--快速幂+素数罗勇军蓝桥杯软件赛零基础备赛20周蓝桥杯职场和发展
报名明年4月蓝桥杯软件赛的同学们，如果你是大一零基础，目前懵懂中，不知该怎么办，可以看看本博客系列：备赛20周合集20周的完整安排请点击：20周计划每周发1个博客，共20周。在QQ群上交流答疑：文章目录1.模运算2.快速幂3.素数3.1小素数的判定3.2素数筛3.3质因数分解第14周: 快速幂+素数蓝桥杯肯定考数学，例如数论、几何、概率论、组合数学等。这里介绍几个简单、常见的知识点。1.模运算
Educational Codeforces Round 156 (Rated for Div. 2) D. Monocarp and the Set（组合数学插空法） Code92007 组合数学(容斥原理)组合数学插空法
题目对于一个未确定的长为n的排列a(2三种可能第i(1的某一个询问修改前的满足限制的合法排列数，以及每次修改后满足限制的合法排列数思路来源jiangly代码题解不看不会，一看秒会注意到，如果i在[1,i-1]已经确定好的排列里插空，也就是确定了相对大小，那么排列是唯一确定的这个插空的思想，以下这类dp是一类经典题：CCPC-WannaflyWinterCampDay4G.置置置换/hdu4055N
项目中枚举与注解的结合使用飞翔的马甲 java enum annotation
前言：版本兼容，一直是迭代开发头疼的事，最近新版本加上了支持新题型，如果新创建一份问卷包含了新题型，那旧版本客户端就不支持，如果新创建的问卷不包含新题型，那么新旧客户端都支持。这里面我们通过给问卷类型枚举增加自定义注解的方式完成。顺便巩固下枚举与注解。一、枚举 1.在创建枚举类的时候，该类已继承java.lang.Enum类，所以自定义枚举类无法继承别的类，但可以实现接口。
【Scala十七】Scala核心十一：下划线_的用法 bit1129 scala
下划线_在Scala中广泛应用，_的基本含义是作为占位符使用。_在使用时是出问题非常多的地方，本文将不断完善_的使用场景以及所表达的含义 1. 在高阶函数中使用 scala> val list = List(-3,8,7,9) list: List[Int] = List(-3, 8, 7, 9) scala> list.filter(_ > 7) r
web缓存基础：术语、http报头和缓存策略 dalan_123 Web
对于很多人来说，去访问某一个站点，若是该站点能够提供智能化的内容缓存来提高用户体验，那么最终该站点的访问者将络绎不绝。缓存或者对之前的请求临时存储，是http协议实现中最核心的内容分发策略之一。分发路径中的组件均可以缓存内容来加速后续的请求，这是受控于对该内容所声明的缓存策略。接下来将讨web内容缓存策略的基本概念，具体包括如如何选择缓存策略以保证互联网范围内的缓存能够正确处理的您的内容，并谈论下
crontab 问题周凡杨 linux crontab unix
一： 0481-079 Reached a symbol that is not expected. 背景： */5 * * * * /usr/IBMIHS/rsync.sh
让tomcat支持2级域名共享session g21121 session
tomcat默认情况下是不支持2级域名共享session的，所有有些情况下登陆后从主域名跳转到子域名会发生链接session不相同的情况，但是只需修改几处配置就可以了。打开tomcat下conf下context.xml文件找到Context标签,修改为如下内容如果你的域名是www.test.com <Context sessionCookiePath="/path&q
web报表工具FineReport常用函数的用法总结（数学和三角函数）老A不折腾 Web finereport 总结
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linux 启动java进程 sh文件墙头上一根草 linux shell jar
#!/bin/bash #初始化服务器的进程PId变量 user_pid=0; robot_pid=0; loadlort_pid=0; gateway_pid=0; ######### #检查相关服务器是否启动成功 #说明： #使用JDK自带的JPS命令及grep命令组合，准确查找pid #jps 加 l 参数，表示显示java的完整包路径 #使用awk，分割出pid
我的spring学习笔记5-如何使用ApplicationContext替换BeanFactory aijuans Spring 3 系列
如何使用ApplicationContext替换BeanFactory？ package onlyfun.caterpillar.device; import org.springframework.beans.factory.BeanFactory; import org.springframework.beans.factory.xml.XmlBeanFactory; import
Linux 内存使用方法详细解析 annan211 linux 内存 Linux内存解析
来源 http://blog.jobbole.com/45748/ 我是一名程序员，那么我在这里以一个程序员的角度来讲解Linux内存的使用。一提到内存管理，我们头脑中闪出的两个概念，就是虚拟内存，与物理内存。这两个概念主要来自于linux内核的支持。 Linux在内存管理上份为两级，一级是线性区，类似于00c73000-00c88000，对应于虚拟内存，它实际上不占用
数据库的单表查询常用命令及使用方法(-) 百合不是茶 oracle 函数单表查询
创建数据库; --建表 create table bloguser(username varchar2(20),userage number(10),usersex char(2)); 创建bloguser表,里面有三个字段 &nbs
多线程基础知识 bijian1013 java 多线程 thread java多线程
一．进程和线程进程就是一个在内存中独立运行的程序，有自己的地址空间。如正在运行的写字板程序就是一个进程。 “多任务”：指操作系统能同时运行多个进程（程序）。如WINDOWS系统可以同时运行写字板程序、画图程序、WORD、Eclipse等。线程：是进程内部单一的一个顺序控制流。线程和进程 a. 每个进程都有独立的
fastjson简单使用实例 bijian1013 fastjson
一.简介阿里巴巴fastjson是一个Java语言编写的高性能功能完善的JSON库。它采用一种“假定有序快速匹配”的算法，把JSON Parse的性能提升到极致，是目前Java语言中最快的JSON库；包括“序列化”和“反序列化”两部分，它具备如下特征：
【RPC框架Burlap】Spring集成Burlap bit1129 spring
Burlap和Hessian同属于codehaus的RPC调用框架，但是Burlap已经几年不更新，所以Spring在4.0里已经将Burlap的支持置为Deprecated,所以在选择RPC框架时，不应该考虑Burlap了。这篇文章还是记录下Burlap的用法吧，主要是复制粘贴了Hessian与Spring集成一文，【RPC框架Hessian四】Hessian与Spring集成
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linux使用flock文件锁解决脚本重复执行问题 ronin47 linux lock　重复执行
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java-74-数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字 bylijinnan java
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[经营与资产]保持独立性和稳定性对于软件开发的重要意义 comsci 软件开发
一个软件的架构从诞生到成熟，中间要经过很多次的修正和改造如果在这个过程中，外界的其它行业的资本不断的介入这种软件架构的升级过程中那么软件开发者原有的设计思想和开发路线
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几番周折终于在自己的CentOS5.5上编译成功了OpenJDK6，将编译过程和遇到的问题作一简要记录，备查。 0. OpenJDK介绍 OpenJDK是Sun（现Oracle）公司发布的基于GPL许可的Java平台的实现。其优点： 1、它的核心代码与同时期Sun（-> Oracle）的产品版基本上是一样的，血统纯正，不用担心性能问题，也基本上没什么兼容性问题；（代码上最主要的差异是
java乱码问题 dashuaifu java乱码问题 js中文乱码
swfupload上传文件参数值为中文传递到后台接收中文乱码在js中用setPostParams（{"tag" : encodeURI( document.getElementByIdx_x("filetag").value，"utf-8")}）; 然后在servlet中String t
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手势滑动销毁Activity gundumw100 android
老是效仿ios，做android的真悲催！有需求：需要手势滑动销毁一个Activity 怎么办尼？自己写？不用~，网上先问一下百度。结果： http://blog.csdn.net/xiaanming/article/details/20934541 首先将你需要的Activity继承SwipeBackActivity，它会在你的布局根目录新增一层SwipeBackLay
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Kafka Rest : Confluent kane_xie kafka REST confluent
最近拿到一个kafka rest的需求，但kafka暂时还没有提供rest api（应该是有在开发中，毕竟rest这么火），上网搜了一下，找到一个Confluent Platform，本文简单介绍一下安装。这里插一句，给大家推荐一个九尾搜索，原名叫谷粉SOSO，不想fanqiang谷歌的可以用这个。以前在外企用谷歌用习惯了，出来之后用度娘搜技术问题，那匹配度简直感人。环境声明：Ubu
Calender不是单例 men4661273 单例 Calender
在我们使用Calender的时候，使用过Calendar.getInstance()来获取一个日期类的对象，这种方式跟单例的获取方式一样，那么它到底是不是单例呢，如果是单例的话，一个对象修改内容之后，另外一个线程中的数据不久乱套了吗？从试验以及源码中可以得出，Calendar不是单例。测试： Calendar c1 =
线程内存和主内存之间联系 qifeifei java thread
1， java多线程共享主内存中变量的时候，一共会经过几个阶段， lock:将主内存中的变量锁定，为一个线程所独占。 unclock:将lock加的锁定解除，此时其它的线程可以有机会访问此变量。 read:将主内存中的变量值读到工作内存当中。 load:将read读取的值保存到工作内存中的变量副本中。
schedule和scheduleAtFixedRate tangqi609567707 java timer schedule
原文地址：http://blog.csdn.net/weidan1121/article/details/527307 import java.util.Timer;import java.util.TimerTask;import java.util.Date; /** * @author vincent */public class TimerTest {
erlang 部署 wudixiaotie erlang
1.如果在启动节点的时候报这个错： {"init terminating in do_boot",{'cannot load',elf_format,get_files}} 则需要在reltool.config中加入 {app, hipe, [{incl_cond, exclude}]}, 2.当generate时，遇到： ERROR