图形学笔记 —— 透视除法

这篇文章是我以前在别的地方发的，最近发现Segmentfault把公式bug修好了，搬过来
本文采用左手坐标系，即z轴向屏幕里增长。

透视投影变换

透视投影变换，有三个词组成：透视、投影、变换。我们逐个来理解。

• 透视：我理解为“有远近感”的，也就是我们平时所说的近大远小。而相对地，近少远多：你站在山顶上，近处你只能看见附近几棵花花草草，但是远处你可以远眺整个城市这么多东西。如果你把人视野内的东西还原回去三维，它们大概会分布在一个圆台上，不是么。

• 说到投影你会想到什么？如果是我，我会想到降维。将一条平面上的线段投影到一维的坐标轴上，将一个三维上的物体投影到二维平面上，这就是我们平时接触到的投影。透视投影变换，就是后者，将三维的物体拍扁成二维的。好了，这个“二维的地方”是哪里呢：就是视网膜了。

• 变换：就是线性变换，这说明我们需要用一个矩阵去把它表达出来，一个齐次坐标变换矩阵。

透视投影变换的思路是：将想要变换的点，与瞳孔连接起来，成为一条视线。然后这条视线，与视网膜的交点，就是变换后的点了。：

如上图所示，点 $(x, y, z)$ 在紫色的视线上穿过瞳孔，在视网膜上成像，像的y坐标y'就是红色的那一段。不过我们知道眼球里的成像是反的，所以实际上我们求的不是红色的那一段，而是与红色那一段全等的绿色那一段。很显然，我们可以找到相似三角的关系，我们假使视网膜（或者绿线）到瞳孔的距离是$z_{r}$，那么变换后绿点：

$$
\left\{
\begin{aligned}
x' &= y \frac {z_r} {z} \\
y' &= y \frac {z_r} {z} \\
z' &= z_r = z \frac {z_r} {z} \\
\end{aligned}
\right.
$$

$1/z$ 这个因子可以通过令 $\omega = z$ 来实现，写成矩阵，就是：

$$
\begin{bmatrix}
z_r & 0 & 0 & 0 \\
0 & z_r & 0 & 0 \\
0 & 0 & z_r & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

透视除法

可以一眼看出，上面那个矩阵的秩只有3，这说明我们损失了一个维度（从这个矩阵的求法也可以看出，损失的是深度z维）。弄丢了深度信息，这使得深度测试和裁剪都非常难以执行。于是我们想了一个办法让深度信息得以保留，这就是透视除法。透视仍然是透视，那么除法是什么呢？稍后有解答。

透视除法的思路是：将视野（平截头体）内所有的东西都变形，然后挤压到一个小立方体里面。就像一个黑洞，当你掉进一个针孔般大的黑洞的时候，你会被挤压得比针孔还要小很多（我不懂物理这是我胡说的）。

好了，用什么数学方法去挤压它呢？答案就是除法：（下图中，两条绿线分别除以两条蓝线）

这样理解：当我们看到一个点的时候，这个点背后的所有物质都不会影响我们看到这个点的位置。将它在平截头体内三个方向的物质数，比上它到镜头前三个方向的物质数，就是这个比值的意义。这样除完之后，再将它规整成一个2x2x2的立方体，然后整个平移到原点周围。这个立方体就叫做规则观察体（CVV, Canonical View Volume）。我们定量分析这个过程，Y方向的视角我们设作 $\theta$ （如上图所标注），X方向的视角我们设作 $\psi$，平截头体的两个底，前面的叫做近裁剪面，后面的叫做远裁剪面，它们离镜头的距离分别设作 $z_n, z_f$：

$$
\left\{
\begin{aligned}
x' &= \frac {x} {z \tan \psi / 2 } \\
y' &= \frac {y} {z \tan \theta / 2 } \\
z' &= 2 \cdot \frac {z-n} { z \frac { f-n } f} - 1 = \frac 1 z ( \frac {f+n} {f-n} \cdot z - \frac {2fn} {f-n} )
\end{aligned}
\right.
$$

写成矩阵，也即：

$$
\begin{bmatrix}
\cot \frac \psi 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cot \frac \theta 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac {f+n} {f-n} & - \frac {2fn} {f-n} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

更直观的求法，就是利用我们需要的是一个确定位置的2x2x2立方体这个条件，用方程将值求出来。

透视投影和透视除法的关系

事实上两者的形式很相似，拿$\cot \frac \theta 2$来说，它不就是当那条绿线长度等于1的时候的 $z_r$ 么。透视除法比透视投影多出来的，就是对片断的深度信息的保存。另外，将它变换到一个规范立方体中也有利于裁剪的进行：只需要简单地比较坐标是否在正方体中，否则削除这个点，或者截断直线。