莫比乌斯反演总结

终于弄明白莫比乌斯反演是怎么回事了,来总结一下...


首先是莫比乌斯函数的定义

, p1,p2,p3,...,pk为互不相等的素数


莫比乌斯函数有一个很重要的性质:

,  [m = 1]的意思是, m等于1时, 结果为1, 否则, 结果为0


证明如下:

根据唯一分解定理,任何一个大于1的自然数 N,如果N不为素数,那么N可以唯一分解成有限个素数的乘积,

那么枚举m的约数d,也就是将m唯一分解,然后枚举它的素因子的组合,根据莫比乌斯函数的定义,当d由奇数个互不相等的素因子组成时,

u(d) = -1,当d由偶数个互不相等的素因子组成时,u(d) = 1.

将m唯一分解,m = p1p2p3...pn,那么只要证明从n个不同的数中选取奇数个数和选取偶数个数(0个也算偶数个)的方法数相等就证明了这个性质

根据二项式定理,有


n为奇数时,

n为偶数时,

所以,从n个不同的数中选取奇数个数和选取偶数个数(0个也算偶数个)的方法数相等,这样莫比乌斯函数的这个性质也就被证明了。


然后是莫比乌斯反演:

已知, 求f(m)


答案是:


当g(m)比较好求,时间复杂度比较低,而f(m)比较难求,时间复杂度比较高的时候,可以用莫比乌斯反演来简化运算,

或者已知g(m)求f(m)的时候,可以用莫比乌斯反演


要证明莫比乌斯反演需要用到两条重要的性质:

,这个很容易理解,就是把枚举m的约数d的顺序变了一下,

,这个我现在还不会证明,等会了以后再放上来


有了这两个性质,就可以证明莫比乌斯反演了,证明如下:

莫比乌斯反演总结_第1张图片



莫比乌斯函数筛法:

void init() {
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    mu[1] = 1; len = 0;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i) {
        if (!vis[i]) {
            pri[len++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < len && i * pri[j] < maxn; ++j) {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j]) mu[i * pri[j]] = -mu[i];
            else {
                mu[i * pri[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}


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