BZOJ2818 Gcd[莫比乌斯反演]

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题解:

首先根据题意,设 f(i) 为 gcd(x,y)=i 的对数。

对应的设( d=k*j [k>=1]   因为总是忘记整除左大还是右大)

F(j)我们可以很容易求出来,就是,因为 F(j) 代表在 n 里面所有 gcd(x,y)=i 其中 i 是 j 的倍数的所有情况。

那么反过来就是 ,但是我们不单单只是求 f(i) 单项,而是求 n 里面 gcd(x,y)=素数的情况。

那么最终结果就是 ( p 代表在 n 内的所有素数)。

将刚才的式子带进去,就变成 ,这个题给的时间,用这个式子完全可以暴力算出来了。


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但是显然,我们可以很容易发现,合数会在这个式子当中重复出现多次。

那么这意味着,只要我们能求出就能把枚举 n 内的每个素数的所有倍数,变为枚举 1 到 n 的所有数了。

式子将变成这样 (因为 1 并不是素数的倍数,所以从2开始)

现在的问题就转换成如何算出T(d)。


① 当 d 为素数的时候 那么 T(d) 必然为 μ(d/d) 即 μ(1)。

这提醒了我们,线性筛有可能把T(d)一起算出来。


② d%prim[j] != 0 的时候 ,就代表着 d 中不存在prim[j] 这个素因子。

但是在 d*prim[j] 中却存在这个素因子,而莫比乌斯是个积性函数,μ(a*b)=μ(a)*μ(b) (当 gcd(a,b)==1 )


 



③ d%prim[j] == 0 的时候,就代表d中存在 prim[j] 这个素因子。


那么这意味着 第二项的求和式当中,除了当 p = prim[j] 这一项以外,其他的数,都会其中一个素因子的指数为2以上,就代表着该数的 μ的值为0,仅存在有可能有值,那么T(d*prim[j])=μ(d)

那么最终,我们就可以用打表打出T(d)的全部值了。


同时在打表中求个T(d)的前缀和,分块加速来求和即可。


T_T但是有人能告诉我,为啥这样写的时间,比我用暴力还要长啊!!!


暴力

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
bool mark[N];
int prim[N],mu[N],smu[N];
int cnt;
void initial()
{
    cnt=0;
    smu[1]=mu[1]=1;
    for (int i=2 ; i

优化后

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
bool mark[N];
int prim[N],mu[N],T[N],st[N];
int cnt;
void initial()
{
    cnt=0;
    mu[1]=1;
    T[1]=st[1]=0;
    for (int i=2 ; i



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