BZOJ2818 Gcd[莫比乌斯反演]

E - Gcd

  HYSBZ - 2818

题解:

首先根据题意，设 f(i) 为 gcd(x,y)=i 的对数。

对应的设( d=k*j [k>=1]   因为总是忘记整除左大还是右大)

F(j)我们可以很容易求出来，就是，因为 F(j) 代表在 n 里面所有 gcd(x,y)=i 其中 i 是 j 的倍数的所有情况。

那么反过来就是 ，但是我们不单单只是求 f(i) 单项，而是求 n 里面 gcd(x,y)=素数的情况。

那么最终结果就是 ( p 代表在 n 内的所有素数)。

将刚才的式子带进去，就变成 ，这个题给的时间，用这个式子完全可以暴力算出来了。

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但是显然，我们可以很容易发现，合数会在这个式子当中重复出现多次。

那么这意味着，只要我们能求出就能把枚举 n 内的每个素数的所有倍数，变为枚举 1 到 n 的所有数了。

式子将变成这样 (因为 1 并不是素数的倍数，所以从2开始)

现在的问题就转换成如何算出T(d)。

① 当 d 为素数的时候 那么 T(d) 必然为 μ(d/d) 即 μ(1)。

这提醒了我们，线性筛有可能把T(d)一起算出来。

② d%prim[j] != 0 的时候 ，就代表着 d 中不存在prim[j] 这个素因子。

但是在 d*prim[j] 中却存在这个素因子，而莫比乌斯是个积性函数，μ(a*b)=μ(a)*μ(b) (当 gcd(a,b)==1 )

 

③ d%prim[j] == 0 的时候，就代表d中存在 prim[j] 这个素因子。

那么这意味着 第二项的求和式当中，除了当 p = prim[j] 这一项以外，其他的数，都会其中一个素因子的指数为2以上，就代表着该数的 μ的值为0，仅存在有可能有值，那么T(d*prim[j])=μ(d)

那么最终，我们就可以用打表打出T(d)的全部值了。

同时在打表中求个T(d)的前缀和，分块加速来求和即可。

T_T但是有人能告诉我，为啥这样写的时间，比我用暴力还要长啊！！！

暴力

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优化后

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