2.2-一次函数和二次函数

2.2.1 一次函数的性质与图像

1.一次函数定义：y=kx+b,(k≠0),x∈R

• k：直线度斜率
• b：直线在y 轴上的截距

2.一次函数的特点：坐标图为直线
3.一次函数的性质： 函数y=kx+b,x∈R (k≠0) 上，取两个点A(x1,y1)、 B(x2,y2)，Δx=x2-x1，Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1

• Δy/Δx=k
• k>0 时，一次函数为增函数，反之，为减。
• b=0 时，一次函数为正比例函数，奇函数；否则，非奇非偶。
• 一次函数在坐标图中的直线，在x 轴上的交点为(-b/k,0)，在y 轴上的交点为(0,b)

2.2.2 二次函数的性质与图像

1.二次函数定义：y=ax²+bx+c,(a≠0),x∈R
2.二次函数性质

• 坐标图像是抛物线，且为偶函数。其和对称轴相交的点就是顶点
• 二次函数的顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)
• a>0 时，抛物线开口向上。否则，向下

3.二次函数顶点的性质：

• 顶点的x 轴位置在对称轴上
• 顶点的y 轴位置是一个常数，即不会参与自变量的运算

4.二次函数顶点的推导

• 思路：使用配方公式将与自变量相关的运算合到一起。
• 公式：

y=ax²+bx+c
=a(x²+b/ax+c/a)
=a[x²+b/ax+(b/2)²-(b/2)²+c/a]
=a[(x+b/2)²-(b/2)²+c/a]
=a(x+b/2)²+c-b²/4a
=a(x+b/2)²+4ac/4a-b²/4a
=a(x+b/2)²+(4ac-b²)/4a
根据"3" 的顶点性质便可得出顶点点位(-b/2a,(4ac-b²)/4a)

5.二次函数可简化为：y=ax²，其除了二次函数本身特点，还有以下性质：

• 沿y 轴对称
• 顶点在原点(0,0) 上

注：配方

1.配方公式为 x²+bx=x²+bx+(b/2)²-(b/2)²=(x+b/2)²-(b/2)²

• x² 可以视之为一个正方形recA 的面积。
• bx 是个有一条边和正方形recB 相等的矩形的面积。

2.配方的运算原理：正方形的一边，矩形中与正方形边不等是边b，前者加上后者的一半，即x+b/2，便会得到一个大正方形recC 的边，求recC 的面积 (x+b/2)² ，会发现它比recA+recB 的面积还多了一个小正方形，即(b/2)²。因此(x+b/2)²-(b/2)² 才会和原来的面积相等。图示：

2.2.3 待定系数法

1.概论：像一次函数的一般形式y=kx+b,(k≠0),x∈R，二次函数的一般形式y=ax²+bx+c,(a≠0),x∈R，这样的函数并不是一开始就有的。这是对具有某种共同特性的一类对象的共有规律的提取。提取这种规律的方法就是待定系数法。

2.待定系数法：通过待定系数解决变量关系的方法