快速幂算法详解

注明：本文中的x^y表示x的y次方

当你要求n^m模k的值时，你应该用什么算法来做呢？

一、O(m)朴素算法

最简单的方法，便是朴素的模拟，这里就不多加介绍了，代码见下：

#include
#define LL long long 
using namespace std;
LL n,m,k;
int main()
{	
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);	
    LL res=1;	
    for(int i=1;i<=m;i++) (res*=n)%=k;	
    printf("%lld",res);	
    return 0;
}

 

二、快速幂算法

 

可是，O(m)的朴素算法毕竟还是太慢了，所以，我们需要一个效率更高的算法——快速幂。

对于x的y次方，我们可以进行分类讨论：

当y为偶数时，x^y=x^(y/2)*x^(y/2)；

当y为奇数时，x^y=x^(y/2)*x^(y/2)*x("/"表示整除)

于是，我们很容易就能想出一个O(log2m）的算法，也就是所谓的快速幂算法：

①建立一个long long类型的变量res来存储答案

②判断m的奇偶性，若为奇数，则将res乘上n，并向k取模

③n平方，m整除2

④若m不为0，则返回②

具体代码如下：

#include
#define max(x,y) (x>y?x:y)
#define min(x,y) (x0) 
    {
        if(y&1) (res*=x)%=MOD;//y&1相当于y%2,y>>=1相当于y/=2,用位运算加快速度 
        (x*=x)%=MOD,y>>=1;
    }	
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    printf("%lld",quick_power(n,m,k));
    return 0;
}