欧拉路与欧拉回路

欧拉路与欧拉回路的定义

如果一张图中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路。

如果一个回路是欧拉路，则称为欧拉回路。

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欧拉路与欧拉回路的存在条件

• 对于无向联通图
  • 欧拉路：只有两个点为奇点的无向图存在欧拉路（起点和终点为两个奇点）。
  • 欧拉回路：没有奇点的无向图存在欧拉回路。
• 对于有向联通图
  • 欧拉路：一个顶点的出度-入度=1，另一个顶点的入度-出度=1，其他所有点入度等于出度时存在欧拉路（起点为出度-入度=1的点，终点为入度-出度=1的点）。
  • 欧拉回路：所有点的入度等于出度时存在欧拉回路。

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如何求解欧拉路与欧拉回路

我们从确定的起点出发（欧拉回路可以从任意一个节点出发），然后枚举每一条与当前节点相连的边，不停地向下一个节点走，并把走过的边从图中删去。每次把到达当前节点所经过的边加入统计答案的$res[$ $]$数组中，可以证明，这样一定能找到一组合法的解。

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代码

inline void dfs(int x,int lst)//dfs跑欧拉回路（无向图版）
{
	register int &i=lnk[x];//注意，此处的i前面要加一个&，这样就可以不停修改lnk[x]，起到一定的优化效果
	for(;i;i=e[i].nxt)//枚举下一条边
	{
		if(vis[i+1>>1]) continue;//如果这条边已经访问过了，就跳过
		vis[i+1>>1]=1,dfs(e[i].to,i&1?(i+1>>1):-(i+1>>1));//标记这条边已访问，搜索下一个点，记录是由这条边通往下一个点的
	}
	if(lst) res[++res_]=lst;//如果不是起点，就记录下到达当前节点的边
}

inline void dfs(int x,int lst)//dfs跑欧拉回路（有向图版），大致思想同上
{
	register int &i=lnk[x];
	for(;i;i=e[i].nxt)
	{
		if(vis[i]) continue;
		vis[i]=1,dfs(e[i].to,i);
	}
	if(lst) res[++res_]=lst;
}

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例题

【洛谷1341】无序字母对

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【洛谷1341】无序字母对 的题解详见博客【洛谷1341】无序字母对（欧拉回路）