二分图匹配——匈牙利算法和KM算法

二分图的概念

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 
设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集V可分割为两个互不相交的子集X和Y，并且图中每条边连接的两个顶点一个在X中，另一个在Y中，则称图G为二分图。 

二分图的性质

定理：当且仅当无向图G的每一个回路的次数均是偶数时，G才是一个二分图。如果无回路，相当于任一回路的次数为0，故也视为二分图。

二分图的判定

如果一个图是连通的，可以用如下的方法判定是否是二分图： 
在图中任选一顶点v，定义其距离标号为0，然后把它的邻接点的距离标号均设为1，接着把所有标号为1的邻接点均标号为2（如果该点未标号的话），如图所示，以此类推。 
标号过程可以用一次BFS实现。标号后，所有标号为奇数的点归为X部，标号为偶数的点归为Y部。 
接下来，二分图的判定就是依次检查每条边，看两个端点是否是一个在X部，一个在Y部。 
如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。 

二分图匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。 
图中加粗的边是数量为2的匹配。 

最大匹配

选择边数最大的子图称为图的最大匹配问题(maximal matching problem) 
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。 
图中所示为一个最大匹配，但不是完全匹配。 

增广路径

增广路径的定义：设M为二分图G已匹配边的集合，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径（P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可），并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。 
增广路径是一条“交错轨”。也就是说, 它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且起点和终点还没有被选择过，这样交错进行,显然P有奇数条边（为什么？）

寻找增广路

 红边为三条已经匹配的边。从X部一个未匹配的顶点x4开始，找一条路径： 
x4,y3,x2,y1,x1,y2x4,y3,x2,y1,x1,y2 
因为y2是Y部中未匹配的顶点，故所找路径是增广路径。 
其中有属于匹配M的边为{x2,y3},{x1,y1} 
不属于匹配的边为{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2} 
可以看出：不属于匹配的边要多一条！

 
如果从M中抽走{x2,y3},{x1,y1}，并加入{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}，也就是将增广路所有的边进行”反色”,则可以得到四条边的匹配M’={{x3,y4}, {x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}} 
容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对。另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路. 
可知四条边的匹配是最大匹配

增广路径性质

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配。
P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

匈牙利算法

用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出) 
算法轮廓：

置M为空
找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M
重复2操作直到找不出增广路径为止
找增广路径的算法

我们采用DFS的办法找一条增广路径： 
从X部一个未匹配的顶点u开始，找一个未访问的邻接点v（v一定是Y部顶点）。对于v，分两种情况：

如果v未匹配，则已经找到一条增广路
如果v已经匹配，则取出v的匹配顶点w(w一定是X部顶点)，边(w,v)目前是匹配的，根据“取反”的想法，要将(w,v)改为未匹配，(u,v)设为匹配，能实现这一点的条件是看从w为起点能否新找到一条增广路径P’。如果行，则u-v-P’就是一条以u为起点的增广路径。
 

匈牙利算法

cx[i]表示与X部i点匹配的Y部顶点编号 
cy[i]表示与Y部i点匹配的X部顶点编号

//伪代码
bool dfs(int u)//寻找从u出发的增广路径
{
    for each v∈u的邻接点
        if(v未访问){
            标记v已访问;
            if(v未匹配||dfs(cy[v])){
                cx[u]=v;
                cy[v]=u; 
                return true;//有从u出发的增广路径
            }
        }
    return false;//无法找到从u出发的增广路径
}
//代码
bool dfs(int u){
    for(int v=1;v<=m;v++)
        if(t[u][v]&&!vis[v]){
            vis[v]=1;
            if(cy[v]==-1||dfs(cy[v])){
                cx[u]=v;cy[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
void maxmatch()//匈牙利算法主函数
{
    int ans=0;
    memset(cx,0xff,sizeof cx);
    memset(cy,0xff,sizeof cy);
    for(int i=0;i<=nx;i++) 
        if(cx[i]==-1)//如果i未匹配
        { 
            memset(visit,false,sizeof(visit)) ; 
            ans += dfs(i); 
        }
    return ans ;
} 

算法分析

算法的核心是找增广路径的过程DFS 
对于每个可以与u匹配的顶点v，假如它未被匹配，可以直接用v与u匹配； 
如果v已与顶点w匹配，那么只需调用dfs(w)来求证w是否可以与其它顶点匹配，如果dfs(w)返回true的话，仍可以使v与u匹配；如果dfs(w)返回false,则检查u的下一个邻接点……. 
在dfs时，要标记访问过的顶点（visit[j]=true），以防死循环和重复计算；每次在主过程中开始一次dfs前，所有的顶点都是未标记的。 
主过程只需对每个X部的顶点调用dfs，如果返回一次true，就对最大匹配数加一；一个简单的循环就求出了最大匹配的数目。

时空分析

时间复杂度： 
找一次增广路径的时间为： 
邻接矩阵： O(n^2)
邻接表：O(n+m)
总时间： 
邻接矩阵：O(n^3)
邻接表：O(nm)
空间复杂度： 
邻接矩阵：O(n^2)
邻接表： O(m+n)
 

KM算法

最佳匹配

什么是完美匹配

如果一个二分图，X部和Y部的顶点数相等，若存在一个匹配包含X部与Y部的所有顶点，则称为完美匹配。 
换句话说：若二分图X部的每一个顶点都与Y中的一个顶点匹配，**并且**Y部中的每一个顶点也与X部中的一个顶点匹配，则该匹配为完美匹配。

什么是完备匹配

如果一个二分图，X部中的每一个顶点都与Y部中的一个顶点匹配，**或者**Y部中的每一个顶点也与X部中的一个顶点匹配，则该匹配为完备匹配。

什么是最佳匹配

带权二分图的权值最大的完备匹配称为最佳匹配。

二分图的最佳匹配不一定是二分图的最大权匹配。 

转化

可以添加一些权值为0的边，使得最佳匹配和最大权匹配统一起来。 

KM算法

求二分图的最佳匹配有一个非常优秀的算法,可以做到O(N^3),这就是KM算法。该算法描述如下：

1.首先选择顶点数较少的为X部，初始时对X部的每一个顶点设置顶标，顶标的值为该点关联的最大边的权值，Y部的顶点顶标为0。

2.对于X部中的每个顶点，在相等子图中利用匈牙利算法找一条增广路径，如果没有找到，则修改顶标，扩大相等子图，继续找增广路径。当每个点都找到增广路径时，此时意味着每个点都在匹配中，即找到了二分图的完备匹配。该完备匹配即为二分图的最佳匹配。

什么是相等子图呢？因为每个顶点有一个顶标，如果我们选择边权等于两端点的顶标之和的边，它们组成的图称为相等子图。

如果从X部中的某个点Xi出发在相等子图中没有找到增广路径，我们是如何修改顶标的呢？如果我们没有找到增广路径，则我们一定找到了许多条从Xi出发并结束于X部的匹配边与未匹配边交替出现的路径，姑且称之为交错树。我们将交错树中X部的顶点顶标减去一个值d，交错树中属于Y部的顶点顶标加上一个值d。这个值后面要讲它如何计算。那么我们会发现：

两端都在交错树中的边(i,j)，其顶标和没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

两端都不在交错树中的边(i,j)，其顶标也没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的顶标和会增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j),它的顶标和会减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

我们修改顶标的目的就是要扩大相等子图。为了保证至少有一条边进入相等子图，我们可以在交错树的边中寻找顶标和与边权之差最小的边,这就是前面说的d值。将交错树中属于X部的顶点减去d，交错树中属于Y部的顶点加上d。则可以保证至少有一条边扩充进入相等子图。

3.当X部的所有顶点都找到了增广路径后，则找到了完备匹配，此完备匹配即为最佳匹配。

相等子图的若干性质

在任意时刻，相等子图上的最大权匹配一定小于等于相等子图的顶标和。
在任意时刻，相等子图的顶标和即为所有顶点的顶标和。
扩充相等子图后，相等子图的顶标和将会减小。
当相等子图的最大匹配为原图的完备匹配时，匹配边的权值和等于所有顶点的顶标和，此匹配即为最佳匹配。
代码

bool dfs(int s) //匈牙利算法找增广路径
{
    visx[s]=1;
    for(int i=1;i<=cnty;i++) 
        if(!visy[i]){
            int t=wx[s]+wy[i]-dis[s][i];
            if(t==0) {
                visy[i]=1;
                if(linky[i]==0||dfs(linky[i])){
                    linkx[s]=i,linky[i]=s;
                    return true;
                }
            }
            else if(t>0)  //找出边权与顶标和的最小的差值
            {
                if(t

转自https://blog.csdn.net/c20180630/article/details/70175814