Codeforces Round #531 (Div. 3)
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A. Integer Sequence Dividing
题意
给定一个整数 n n n，将 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 以内所有的整数分到两个集合 A A A 和 B B B 中，每个整数只能被分到一个集合，要求两个集合中所有数字的和的差的绝对值最小，即： ∣ s u m A − s u m B ∣ |sum_A-sum_B| ∣sumA−sumB∣ 的值最小，其中空集合内所有数字的和为 0 0 0。
输入
输入仅包含一个整数 n ( 1 ≤ n ≤ 2 × 1 0 9 ) n~(1\leq n\leq2\times10^9) n (1≤n≤2×109)。
输出
输出题目所求答案。
样例
| 输入 |
|---|
| 3 |
| 输出 |
| 0 |
| 提示 |
| 其中一种合法的分法是：令 A = { 1 , 2 } , B = { 3 } A=\{1,2\},B=\{3\} A={1,2},B={3}，这样 ∥ s u m A − s u m B ∥ = 0 \|sum_A-sum_B\|=0 ∥sumA−sumB∥=0。 |
| 输入 |
|---|
| 5 |
| 输出 |
| 1 |
| 提示 |
| 其中一种合法的分法是：令 A = { 1 , 3 , 4 } , B = { 2 , 5 } A=\{1,3,4\},B=\{2,5\} A={1,3,4},B={2,5}，这样 ∥ s u m A − s u m B ∥ = 1 \|sum_A-sum_B\|=1 ∥sumA−sumB∥=1。 |
| 输入 |
|---|
| 6 |
| 输出 |
| 1 |
| 提示 |
| 其中一种合法的分法是：令 A = { 1 , 4 , 5 } , B = { 2 , 3 , 6 } A=\{1,4,5\},B=\{2,3,6\} A={1,4,5},B={2,3,6}，这样 ∥ s u m A − s u m B ∥ = 1 \|sum_A-sum_B\|=1 ∥sumA−sumB∥=1。 |
题解
通过多次枚举可以发现，如果 n n n 是 4 4 4 的整数倍，那么对于每 4 4 4 个数字，就可以用 a 1 + a 4 = a 2 + a 3 a_1+a_4=a_2+a_3 a1+a4=a2+a3 将第 1 1 1 个和第 4 4 4 个分到一个集合中，剩下的分到另一个集合中，而对于 n n n 不是 4 4 4 的整数倍的情况，可以将多出来的 x ( 0 < x < 4 ) x~(0<x<4) x (0<x<4) 个数按照 n = 1 , 2 , 3 n=1,2,3 n=1,2,3 时进行划分，就可以得到最小答案。
过题代码
#include
#include B. Array K-Coloring
题意
给定 n n n 个整数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a1,a2,⋯,an 和 k k k 种颜色，要求用这 k k k 种颜色给所有整数上色，并且满足下面三个要求：
- 每个整数都必须要涂上一种颜色；
- 每种颜色至少要被涂上一次；
- 所有被颜色 i i i 涂上的数字都必须是不同的。
若存在满足上述条件的涂色方案，则输出任意一种，否则输出 N O NO NO。
输入
第一行为两个整数 n , k ( 1 ≤ k ≤ n ≤ 5000 ) n,k~(1\leq k\leq n\leq5000) n,k (1≤k≤n≤5000)，第二行为 n n n 个整数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n ( 1 ≤ a i ≤ 5000 ) a_1,a_2,\cdots,a_n~(1\leq a_i\leq5000) a1,a2,⋯,an (1≤ai≤5000)。
输出
如果不存在合法的解，则输出 N O NO NO，否则在第一行输出 Y E S YES YES，并在第二行给出任意一种合法的解，每种颜色用数字 [ 1 , k ] [1,k] [1,k] 内的整数表示。
样例
| 输入 |
|---|
| 4 2 1 2 2 3 |
| 输出 |
| YES 1 1 2 2 |
| 提示 |
| 2 1 2 1 2~1~2~1 2 1 2 1 也是一种合法的涂色方案，当然也存在其他合法的涂色方案。 |
| 输入 |
|---|
| 5 2 3 2 1 2 3 |
| 输出 |
| YES 2 1 1 2 1 |
| 提示 |
| 1 1 1 2 2 1~1~1~2~2 1 1 1 2 2 也是一种合法的涂色方案，当然也存在其他合法的涂色方案。 |
| 输入 |
|---|
| 5 2 2 1 1 2 1 |
| 输出 |
| NO |
题解
若存在任意一个颜色出现的次数大于 k k k，则输出 N O NO NO，否则将每个数字 x x x 出现的位置存在一个
vector数组的第 x x x 个位置上，然后按下标从小到大遍历这个vector数组，按 [ 1 , k ] [1,k] [1,k] 的循环给所有位置上色。
过题代码
#include
#include C. Doors Breaking and Repairing
题意
有两个人玩一个游戏，最开始有 n n n 扇门，第 i i i 扇门初始的耐久性为 a i a_i ai，你是先手，另一个人后手，每当你选择一扇门，可以将这扇门的当前耐久度 b i b_i bi 改为 max ( 0 , b i + 0 ) \max(0,b_i+0) max(0,bi+0)，每当另一个人选择一扇门，若这扇门的当前耐久度不为 0 0 0，则可以将其修改为 b i + y b_i+y bi+y，你希望有最多的门的耐久度变为 0 0 0，而另一个人希望有最少的门的耐久度变为 0 0 0，两人都采取最优策略，问经过 1 0 100 10^{100} 10100 轮游戏之后，最多有多少扇门的耐久度变为 0 0 0。
输入
第一行为 3 3 3 个整数 n , x , y ( 1 ≤ n ≤ 100 , 1 ≤ x , y ≤ 1 0 5 ) n,x,y~(1\leq n\leq100,1\leq x,y\leq10^5) n,x,y (1≤n≤100,1≤x,y≤105)，第二行有 n n n 个整数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n ( 1 ≤ a i ≤ 1 0 5 ) a_1,a_2,\cdots,a_n~(1\leq a_i\leq10^5) a1,a2,⋯,an (1≤ai≤105)。
输出
输出题目所求答案。
样例
| 输入 |
|---|
| 6 3 2 2 3 1 3 4 2 |
| 输出 |
| 6 |
| 输入 |
|---|
| 5 3 3 1 2 4 2 3 |
| 输出 |
| 2 |
| 输入 |
|---|
| 5 5 6 1 2 6 10 3 |
| 输出 |
| 2 |
题解
若 x > y x>y x>y，则先手一定能将所有门的耐久度都变为 0 0 0，否则若先手破坏一道 a i > x a_i>x ai>x 的门，后手就可以立即对第 i i i 扇门进行修复，所以先手只能去破坏 a i ≤ x a_i\leq x ai≤x 的门，而后手一定会去修复还没有被破坏的 a i ≤ x a_i\leq x ai≤x 的门，所以先手最多只能破坏 ⌈ c n t 2 ⌉ \lceil\frac{cnt}{2}\rceil ⌈2cnt⌉ 扇门，其中 c n t cnt cnt 为 a i ≤ x a_i\leq x ai≤x 的门的数量。
过题代码
#include
#include D. Balanced Ternary String
题意
给定一个长度为 n n n 的三元字符串，字符串中只包含三种字符：
012，每次可以将字符串中的一个字符替换成另一个字符，要求替换最少的次数，使得这个三元字符串每种字符的个数相等，如果有多种答案，输出字典序最小的一种。
输入
第一行包含一个整数 n ( 3 ≤ n ≤ 3 × 1 0 5 , 3 ∣ n ) n~(3\leq n\leq3\times10^5,3|n) n (3≤n≤3×105,3∣n)，第二行为一个长度为 n n n 的三元字符串。
输出
输出题目所求答案。
样例
| 输入 |
|---|
| 3 121 |
| 输出 |
| 021 |
| 输入 |
|---|
| 6 000000 |
| 输出 |
| 001122 |
| 输入 |
|---|
| 6 211200 |
| 输出 |
| 211200 |
| 输入 |
|---|
| 6 120110 |
| 输出 |
| 120120 |
题解
先统计字符
012出现的次数 c n t 0 , 1 , 2 cnt_{0,1,2} cnt0,1,2，然后先从前往后确定所有 0 0 0 的位置，若 c n t 0 ≥ n 3 cnt_0\geq\frac{n}{3} cnt0≥3n，则将前 n 3 \frac{n}{3} 3n 个 0 0 0 标为 t r u e true true，表示完全确定，并且不能更改，多出来的0为 f a l s e false false，表示可以更改，若 c n t 0 < n 3 cnt_0<\frac{n}{3} cnt0<3n，则将靠前的非0的 c n t cnt cnt 值大于 n 3 \frac{n}{3} 3n 的字符改为0，并修改相应的 c n t cnt cnt 值，并将该位置标为 t r u e true true，对于1和2也是如此。
过题代码
#include
#include E. Monotonic Renumeration
题意
给定一个长度为 n n n 的序列 a a a，要求生成一个满足以下条件的序列 b b b：
- b 1 = 0 b_1=0 b1=0；
- 对于任意的 1 ≤ i , j ≤ n 1\leq i,j\leq n 1≤i,j≤n，若 a i = a j a_i=a_j ai=aj，则 b i = b j b_i=b_j bi=bj（若 a i ≠ a j a_i\neq a_j ai̸=aj，也可以使得 b i = b j b_i=b_j bi=bj）;
- 对于每一个 i ∈ [ 1 , n ) i\in[1,n) i∈[1,n)，有 b i = b i + 1 b_i=b_{i+1} bi=bi+1 或者 b i + 1 = b i + 1 b_i+1=b_{i+1} bi+1=bi+1。
统计总共有多少种 b b b 序列满足条件，将答案对 998244353 998244353 998244353 取模后输出。
输入
第一行包含一个整数 n ( 2 ≤ n ≤ 2 × 1 0 5 ) n~(2\leq n\leq2\times10^5) n (2≤n≤2×105)，第二行包含 n n n 个整数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n ( 1 ≤ a i ≤ 1 0 9 ) a_1,a_2,\cdots,a_n~(1\leq a_i\leq10^9) a1,a2,⋯,an (1≤ai≤109)。
输出
输出题目所求答案。
样例
| 输入 |
|---|
| 5 1 2 1 2 3 |
| 输出 |
| 2 |
| 输入 |
|---|
| 2 100 1 |
| 输出 |
| 2 |
| 输入 |
|---|
| 4 1 3 3 7 |
| 输出 |
| 4 |
题解
由 2 2 2 和 3 3 3 可知若存在 a l = a r ( l ≤ r ) a_l=a_r~(l\leq r) al=ar (l≤r)，则对于任意 i , j ∈ [ l , r ] i,j\in[l,r] i,j∈[l,r]，有 b i = b j b_i=b_j bi=bj，因此所有 n n n 个整数被分为 x x x 个区间，每个区间内的 b i b_i bi 值都必须相等，答案就是 2 x − 1 m o d 998244353 2^{x-1}\mod998244353 2x−1mod998244353。
先记录每个数字 a i a_i ai 最后出现的下标 E n d a i End_{a_i} Endai，然后将 j j j 从 i i i 到 E n d a i End_{a_i} Endai 扫一遍，在扫的过程中将所有 E n d a j > E n d a i End_{a_j}>End_{a_i} Endaj>Endai 的值更新到 E n d a i End_{a_i} Endai 中，直到停止扫描，则刚刚扫过的整个区间的 b j b_j bj 的值都必须相同。即上述的 x x x 个区间中的其中一个。
过题代码
#include
#include F. Elongated Matrix
题意
有一个 n × m n\times m n×m 的矩阵，可以对这个矩阵进行交换任意两行的操作（也可以不进行任何操作），但是列的顺序不能被交换，要求交换完毕后，将最后的矩阵进行按列扫描（即按 a 1 , 1 , a 2 , 1 , ⋯ , a n , 1 , a 1 , 2 , a 2 , 2 , ⋯ , a n , 2 , ⋯ , a n , m a_{1,1},a_{2,1},\cdots,a_{n,1},a_{1,2},a_{2,2},\cdots,a_{n,2},\cdots,a_{n,m} a1,1,a2,1,⋯,an,1,a1,2,a2,2,⋯,an,2,⋯,an,m 的顺序扫描），得到一个序列 s 1 , s 2 , ⋯ , s n m s_1,s_2,\cdots,s_{nm} s1,s2,⋯,snm，序列 s s s 的任意相邻两项之间满足 ∣ s i − s i + 1 ∣ ≥ k ( 1 ≤ i < n m ) |s_i-s_{i+1}|\geq k~(1\leq i<nm) ∣si−si+1∣≥k (1≤i<nm)，求最大的 k k k 值。
输入
第一行为两个整数 n , m ( 1 ≤ n ≤ 16 , 1 ≤ m ≤ 1 0 4 , 2 ≤ n m ) n,m~(1\leq n\leq16,1\leq m\leq10^4,2\leq nm) n,m (1≤n≤16,1≤m≤104,2≤nm)，接下去 n n n 行每行 m m m 个整数，第 i i i 行第 j j j 列的整数 a i , j a_{i,j} ai,j 表示矩阵对应位置的整数，其中 1 ≤ a i , j ≤ 1 0 9 1\leq a_{i,j}\leq10^9 1≤ai,j≤109。
输出
输出题目所求答案。
样例
| 输入 |
|---|
| 4 2 9 9 10 8 5 3 4 3 |
| 输出 |
| 5 |
| 提示 |
| 将矩阵按行交换成如下矩阵，即可得到最大的 k k k 值 5 5 5： 5 3 10 8 4 3 9 9 此时 s s s 序列为： [ 5 , 10 , 4 , 9 , 3 , 8 , 3 , 9 ] [5,10,4,9,3,8,3,9] [5,10,4,9,3,8,3,9]，任意两个相邻元素之间的差值至少为 5 5 5。 |
| 输入 |
|---|
| 2 4 1 2 3 4 10 3 7 3 |
| 输出 |
| 0 |
| 提示 |
| 将行按任意顺序排列，得到的 k k k 值都为 0 0 0。 |
| 输入 |
|---|
| 6 1 3 6 2 5 1 4 |
| 输出 |
| 3 |
| 提示 |
| 原序列的 k k k 值已经为 3 3 3。 |
题解
由于对于任意两行 i i i 和 j j j，只要 i i i 是 j j j 的下一行，那么这两行中任意一列的差值都是定值，且从第 i i i 行到第 j j j 行的距离必然为 d i s [ i ] [ j ] = min ( ∣ a i , l − a j , l ∣ ) , l ∈ [ 1 , m ] dis[i][j]=\min(|a_{i,l}-a_{j,l}|),l\in[1,m] dis[i][j]=min(∣ai,l−aj,l∣),l∈[1,m]，因此可以将 m m m 列处理成 1 1 1 列，不考虑跨列连接的问题的话，就变成了 n n n 行 1 1 1 列的问题了。
定义 d p [ s ] [ t ] [ l ] dp[s][t][l] dp[s][t][l] 表示以第 s s s 行为起点，第 t t t 列为终点， l l l 的二进制位中所有为 1 1 1 的位都被访问过的状态的最大满足条件的距离，假设从 s s s 到中转行 c c c 的遍历行数的状态为 l l l，那么到达一个新的行 t t t 的距离，可以用状态转移方程得到：
d p [ s ] [ t ] [ l ∣ ( 1 < < t ) ] = max ( min ( d p [ s ] [ c ] [ l ] , d i s [ c ] [ t ] ) ) ( b i t l , s = b i t l , c = 1 , b i t l , t = 0 ) dp[s][t][l|(1<<t)]=\max(\min(dp[s][c][l],dis[c][t]))\quad(bit_{l,s}=bit_{l,c}=1,bit_{l,t}=0) dp[s][t][l∣(1<<t)]=max(min(dp[s][c][l],dis[c][t]))(bitl,s=bitl,c=1,bitl,t=0)其中 b i t a , b bit_{a,b} bita,b 表示 a a a 的第 b b b 个二进制位的值。 d p dp dp 的初始值为 d p [ i ] [ j ] [ k ] = { ∞ i = j , k = 1 < < i 0 o t h e r s dp[i][j][k]= \begin{cases} \infty&i=j,k=1<<i\\ 0&others \end{cases} dp[i][j][k]={∞0i=j,k=1<<iothers
最后考虑跨列的情况，即以 s s s 为起始行， t t t 为最终行，从 t t t 行的当前列到 s s s 行的下一列，其距离为： d i s _ n e x t [ t ] [ s ] = min ( ∣ a t , j − a s , j + 1 ∣ ) ( s ≠ t , 1 ≤ j < m ) dis\_next[t][s]=\min(|a_{t,j}-a_{s,j+1}|)~(s\neq t,1\leq j<m) dis_next[t][s]=min(∣at,j−as,j+1∣) (s̸=t,1≤j<m)，将所有 d p [ s ] [ t ] [ l ] dp[s][t][l] dp[s][t][l] 与对应的 d i s _ n e x t dis\_next dis_next 取 min \min min，再取所有的最大值，就是答案。
注意特判 n = 1 n=1 n=1 的情况。
过题代码
#include
#include