UVa11401(枚举转换推公式+思维)

题意

给一正整数n，问你从1–n中选出3个不同的数能组成三角形，问你有多少种情况

分析

分析一下，这个题好像跟计算几何中的那种给你三个点的坐标，问你能组成多少个不同的三角形好像有点像。直接枚举肯定会炸，而且还有条件没有挖出来，他要求的是1–n中的数，而且还不同。那假设三条边为a,b,c,我们不妨设 a<b<c a < b < c .而且要三角形的话就要满足 a+b<c a + b < c ,除此之外还有 b−a>c b − a > c .下面我们来看在最长边为c的情况下，能组成多少个三角形。枚举的话我们先要定范围，上述有两个不等式，我们稍微变形一下。 b<c−a,b<c+a b < c − a , b < c + a .由于我们假设的c最大，因此有下面的不等式 c−a<b<c c − a < b < c 。这里我们从1开始枚举a.
a=1 a = 1 时， c−1<b<c c − 1 < b < c ，没有能取的值，ans=0
a=2 a = 2 时， c−2<b<c c − 2 < b < c ，a只能取c-1，ans=1
a=3 a = 3 时， c−3<b<c c − 3 < b < c ，a能取c-2，c-1，ans=2
…
a=c−2 a = c − 2 时， 2<b<c 2 < b < c ，a能取3,4…c-1，ans=c-2
a=c−1 a = c − 1 时， 1<b<c 1 < b < c ，a能取2,3…c-1，ans=c-2
由此可以推算出总和为 ans1+ans2+..+ansn=(c−1)∗(c−2)/2 a n s 1 + a n s 2 + . . + a n s n = ( c − 1 ) ∗ ( c − 2 ) / 2 ，但是这里有重复的，a=3的时候b可以取c-2,但是当a=c-2时,b也取了3.同理其他。每一个情况好像都算了两次，不过 a==b a == b 的这种情况只会算一次（为什么请往下看），但是题目是不让重复取值的，所以们要先减去相同的，再除以二。
下面我们再找有多少个相同的。还是看上面的枚举，找规律发现对于枚举的每个a,b的取值数量都是a-1，当而且是从c-1开始往前面取，所以对于每次枚举，如果a大于b能取到的最小值，则以后的情况必然都有 a==b a == b ,而且仅有一次。临界情况就是a=c-1-a，得到a=(c-1)/2时正好有这种情况，至于为什么是下整，可以模拟几组数据看看。
有了上述结论和公式，我们得到了一个结论，设f(x)为最长边为x，且三条边不重复的三角形的数量。可以在O(1)的时间内求出f(x)，已经推出了公式。那么题目要求的就等价于求f(1)+f(2)+…+f(n),这个可以递推求，时间复杂度O(n),具体看代码

顺便一提，这种枚举推公式的思想很重要，上次华师校赛已经有过这个题了，还想了半天。

代码

#include 
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll MAXN = 1e6 + 5;
ll f[MAXN];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    ll n;
    for (ll i = 4; i <= MAXN; i++)
        f[i] = f[i-1] + ((i - 1)*(i - 2) / 2 - (i - 1) / 2) / 2;
    while (cin >> n)
    {
        if (n < 3) break;
        cout << f[n] << endl;
    }
    return 0;
}