人工智能通识-科普-穷举法求抛物线面积

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对于图中的抛物线，如何求出蓝色部分面积？

人工智能通识-2019年3月专题汇总

几何级数Geometric series

几何级数就是指以固定比例持续增加的一组数字，类似，后一项总是前一项乘以，所以这样的数列就叫做几何级数,比如。

怎么求和？

利用补项相减法计算过程如下：

所以当，也就是是绝对值小于1的正分数或负分数时候，当趋近无穷大的时候，趋近无穷小接近0，那时候就趋近于1，就得到：

比如：

我们都知道三角形的面积是底乘以高除以2，但换一种看法，在下图中，黄色三角形被中间的竖线NRQP分成左右两个小三角形，大黄色三角形面积就可以表示为左侧三角形MNQ和右侧三角形NQK面积之和。

即：

也就是说，黄色三角形面积等于中间竖线与三角形相交的NQ乘以横向总宽度MT的一半。

好了，我们回到一开始的问题，蓝色面积怎么求？

如图，先看左半部分，我们连接AC得到三角形，这是个直角边为1的45度直角三角形，面积是。

再看绿色部分，根据上面我们的经验，它的面积等于。这里AB是1可以忽略。ED长度是多少？

注意到和是相似三角形，所以

即：

同时，F点横向是，根据函数得到E点的高度是。所以ED是，面积是。

所以，黄色三角形面积是,绿色三角形面积是。同理每个小红三角性的面积，两个就是，以此类推下去，我们把左侧这些无穷细分的三角形加在一起就是：

我们把它乘以2，得到整个曲线下面的面积：

即是：

套用上面的公式得到，这是抛物线下整个面积，那么右侧蓝色的部分就是。

这个是穷举法的经典应用，穷举的思路就是不断细分再细分，逐渐逼近最终形状。

实际上这个算法并不仅仅适用于这个特殊情况，如上图所示，对于任何抛物线和相交直线所包围的面积，都等于两个交点、交点中点竖线线与抛物线的交点所组成的三角形面积的倍。

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