欧几里得定理+线性同余+逆元

欧几里得定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：     

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b  

1.假设d是a,b的一个公约数，则有  a|d, b|d，而r = a - kb，因此r|d   因此d是(b,a mod b)的公约数,证明充分性  

2.假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 ：b|d , r|d ，但是a = kb +r   因此d也是(a,b)的公约数,证明必要性  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。 当b=0时，（a，0）的最大公约数是a

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int gcd(int a,int b)//递归
{
   if(a

 

int gcd(int a,int b)//循环
{
   if(a>=1;
       a*=a;
    }
return ans;
}

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扩展欧几里得实现原理：

 a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = gcd(a', b') 由于b' = a % b = a - a / b * b (这里的/是程序设计语言中的除法) 那么可以得到: a'x + b'y = gcd(a', b') ===> bx + (a - a / b * b)y = gcd(a', b') = gcd(a, b) ===> ay +b(x - a / b*y) = gcd(a, b)     因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).

解 x，y的方法的理解：     

1、显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；         也就是1*a+0*b = a   

 2、设 ax1+by1=gcd(a,b);     在下一个exgcd里bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);           根据欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);           则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;         

 即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;           根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;           这样我们就得到解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2。

一些性质：

1：对于任意x0的解都有    x=x0+b/d*t  t为任意值这个定理求最小正x解很有用   最小x=(x0%(b/d)+b/d)%(b/d)

2：对于任意解y0都有      y=y0-a/d*t

3: ax=b  %p      满足条件b|gcd(a,p)   变形及ax+py=b;就可有扩展欧几里得求出

4：求逆元及ax=1 %p

摸版：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得算法摸版
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

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逆元:

ax=1 %p 则x为a模p的逆元 a为x模p的逆元；

线性递推求法：

inv[1] = 1;
    for(i=2;i

费马小定理：

  %p   gcd(a,p)=1 且p为素数;逆元则为

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同余性质：

a=b  %p

c=d  %p

a+c=b+d %p  a*c=c*d %p

(a+c)%p=(a%p+c%p)%p     (a*c)%p=(a%p*c%p)%p    (a/c)%p=(a%p*(c的逆元)%p)%p

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