类欧几里得算法学习

几个常用等式

• $a\le \lfloor \frac{b}{c}\rfloor \iff ac\le b$
• $a<\lceil \frac{b}{c}\rceil \iff ac<b$
• $a\ge \lceil \frac{b}{c}\rceil \iff ac\ge b$
• $a>\lfloor \frac{b}{c}\rfloor \iff ac>b$
• $\lfloor \frac{b}{c}\rfloor \iff \lfloor \frac{b+c-1}{c}\rfloor$
• $\lfloor \frac{b}{c}\rfloor \iff \lceil \frac{b-c+1}{c}\rceil$

类欧几里得

介绍

可以用来快速求出以下几个式子的值：

• $f(a,b,c,n)={\sum }_{i=0}^n\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor$
• $g(a,b,c,n)={\sum }_{i=0}^{n}i\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor$
• $h(a,b,c,n)={\sum }_{i=0}^n{\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor }^2$

由于求值的过程跟求$gcd$的欧几里得算法类似因此叫做类欧几里得。

求f

1. $a\ge c$ $or$ $b\ge c$
   把$\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor$拆开变成$\lfloor \frac{(a\%c)i+b\%c}{c}\rfloor +\lfloor \frac{a}{c}\rfloor i+\lfloor \frac{b}{c}\rfloor$
   $f(a,b,c,n)\iff f(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{n(n+1)}{2}\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +(n+1)\lfloor \frac{b}{c}\rfloor$
2. $a<c$ $and$ $b<c$
   若$a=0\Rightarrow f(a,b,c,n)=0$
   若$a̸=0:$
   $$\begin{array}{rl}f(a,b,c,n)=& \sum _{i=0}^n\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor \\ =& \sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor -1}1\\ =& \sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}\sum _{i=0}^n[j<\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor ]\\ =& \sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}\sum _{i=0}^n[j<\lceil \frac{ai+b-c+1}{c}\rceil ]\\ =& \sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}\sum _{i=0}^n[cj<ai+b-c+1]\\ =& \sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}\sum _{i=0}^n[ai>cj-b+c-1]\\ =& \sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}\sum _{i=0}^n[i>\lfloor \frac{cj-b+c-1}{a}\rfloor ]\\ =& \sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}[n-\lfloor \frac{cj-b+c-1}{a}\rfloor ]\\ =& n\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor -f(c,-b+c-1,a,\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1);\end{array}$$
   然后这个时候$c$是比$a$大的，所以在计算$f(c,-b+c-1,a,\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1)$的时候会变成第一种情况，相当于原本的$a,c$对应的参数变成了$(c,a\%c)$，因此该算法时间复杂度跟求$gcd$相同，为$log$级别的。
   $g,h$推导类似直接上式子了。

求g

1. $a\ge c$ $or$ $b\ge c:g(a,b,c,n)=g(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\lfloor \frac{a}{c}\rfloor +\frac{n(n+1)}{2}\lfloor \frac{b}{c}\rfloor$
2. $a<c$ $and$ $b<c:g(a,b,c,n)=\frac{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor n(n+1)-f(c,-b+c-1,a,\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1)-h(c,-b+c-1,a,\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1)}{2}$

求h

1. $a\ge c$ $or$ $b\ge c:h(a,b,c,n)=h(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}{\lfloor \frac{a}{c}\rfloor }^2+(n+1){\lfloor \frac{b}{c}\rfloor }^2+2\lfloor \frac{b}{c}\rfloor f(a\%c,b\%c,c,n)+2\lfloor \frac{a}{c}\rfloor g(a\%c,b\%c,c,n)+\lfloor \frac{a}{c}\rfloor \lfloor \frac{b}{c}\rfloor n(n+1)$
2. $a<c$ $and$ $b<c:h(a,b,c,n)=\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor (\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor +1)n-2g(c,-b+c-1,a,\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1)-2f(c,-b+c-1,a,\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1)-f(a,b,c,n)$