递归树

求递归算法的时间复杂度：递归树

递归算法时间复杂度的一个递归方程：

在引入递归树之前可以考虑一个例子：

T(n) = 2T(n/2) + n²;

迭代2次可以得：

T(n) = n² + 2(2T(n/4) + (n/2)²)

还可以继续迭代，将其完全展开可得：

T(n) = n² + 2((n/2)² + 2((n/2²)² + 2((n/2³) 2 + 2((n/2⁴)² +…+2((n/2ⁱ)² + 2T(n/2ⁱ⁺¹)))…))))　　……(1)

而当n/2² == 1时，迭代结束。

将(1)式小括号展开，可得：

T(n) = n² + 2(n/2)² + 2²(n/2²)² + … + 2ⁱ(n/2ⁱ)² + 2ⁱ⁺¹T(n/2ⁱ⁺¹)

这恰好是一个树形结构，由此可引出递归树法。

图中的(a)(b)(c)(d)分别是递归树生成的第1,2,3,n步。每一节点中都将当前的自由项n2留在其中，而将两个递归项T(n/2) + T(n/2)分别摊给了他的两个子节点，如此循环。

图中所有节点之和为:

[1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + … + (1/2)ⁱ] n² = 2n²

可见其复杂度为O(n²)

可以得到递归树的规则为：

(1) 每层的节点为T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在当前的n/m下的值；

(2) 每个节点的分支数为k；

(3)每层的右侧标出当前层中所有节点的和。

再举个例子

T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n

其递归树如下图所示：

可见每层的值都为n，从根到叶节点的最长路径是：

因为最后递归的停止是在(2/3)kn == 1.则

于是

即T(n) = O(nlogn)

总结

利用此方法解递归算法复杂度：

f(n) = a*f(n/b) + d(n)

1.当d(n)为常数时：
　

2.当d(n) = cn 时：
　　　

3.当d(n)为其他情况时可用递归树进行分析。

由第二种情况知，若采用分治法对原算法进行改进，则着重点是采用新的计算方法缩小a值。

照着某个大佬依葫芦画瓢的，为了练习写blog，侵删