NOIP1998提高组 车站

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题目描述

    火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第2站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问x站开出时车上的人数是多少？

输入输出格式

    输入格式：

    a(<=20)，n(<=20)，m(<=2000)，和x(<=20)，

    输出格式：

    从x站开出时车上的人数。

输入输出样例

    输入样例：

    5 7 32 4

    输出样例：

    13

解题分析：

    设u(i)为第i个车站的上车人数，f(i)为第i个车站开动时的人数，则f(i)=f(i-1)+u(i-2)。
    则得到递推关系：
    u(1)=a, u(2)=b,
    u(i)=u(i-1)+u(i-2)
    f(1)=a, 
    f(2)=a, 
    f(i)=f(2)+u(1)+u(2)+...+u(i-2)
    因此得到：
    m = f(n-2) = f(2) + u(1)+u(2)+...+u(n-2) = f(s)+u(1) + fib_sum(n-4)*a + fib_sum(n-3)*b
    由此可以求的b。其中fib_sum(k)表示斐波拉契数列的前k向和。

    复杂度O(n)

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
#define N 21
int fib_sum[N]; 

void ini(){
	int a=0, b=1, c;
	fib_sum[1] = 0, fib_sum[2] = 1;
	for(int i=3; i>a>>n>>m>>x;
	b = (m - 2*a - a*fib_sum[n-4])/ fib_sum[n-3];
	cout<<(2*a + fib_sum[x-3]*a + fib_sum[x-2]*b)<