【洛谷2324】[SCOI2005]骑士精神 IDA*

[SCOI2005]骑士精神

描述

　在一个\(5×5\)的棋盘上有\(12\)个白色的骑士和\(12\)个黑色的骑士， 且有一个空位。在任何时候一个骑士都能按照骑
士的走法（它可以走到和它横坐标相差为\(1\)，纵坐标相差为\(2\)或者横坐标相差为\(2\)，纵坐标相差为\(1\)的格子）移动到空
位上。 给定一个初始的棋盘，怎样才能经过移动变成如下目标棋盘： 为了体现出骑士精神，他们必须以最少的步
数完成任务。

输入

第一行有一个正整数\(T(T<=10)\)，表示一共有\(N\)组数据。接下来有\(T\)个\(5×5\)的矩阵，\(0\)表示白色骑士，\(1\)表示黑色骑 士，\(*\)表示空位。两组数据之间没有空行。

输出

　对于每组数据都输出一行。如果能在\(15\)步以内（包括\(15\)步）到达目标状态，则输出步数，否则输出-\(1\)。

输入样例 1:

2
10110
01*11
10111
01001
00000
01011
110*1
01110
01010
00100

输出样例1：

7
-1

题解

题意：给你一个初始棋盘，要求用最少的步数移动马达到如上图的目标状态（要求棋盘中的马只能走“日”）。

咱们先抛开\(IDA^*\)，先如何优化爆搜；

这里的马和象棋里的马走法相同，但题目中要求让马走，但是要是马的话，搜索分支比较多，所以我们要考虑让空格走（很显然吧）。

下面步入正题：

\(IDA^*\)就是带有迭代加深和估价函数优化的搜索。

可能某些人对以上两个名词很陌生，下面一些前置知识可能会带你透彻一下。

前置知识1：迭代加深

定义：

每次限定一个\(maxdep\)最大深度，使搜索树的深度不超过\(maxdep\)。

    for(R int maxdep=1;maxdep<=题目中给的最大步数;maxdep++){
        dfs(0,maxdep);//0为出入函数中当前步数，maxdep为传入的最大深度。
        if(success)break;//如果搜索成功则会在dfs函数中将success赋值为1。
    }

使用范围:

1.在有一定的限制条件时使用（例如本题中“如果能在\(15\)步以内（包括\(15\)步）到达目标状态，则输出步数，否则输出\(－1\)。“）。

2.题目中说输出所以解中的任何一组解。

为什么能够降低时间复杂度：

我们可能会在一个没有解（或解很深的地方无限递归然而题目中要求输出任何的一组解），所以我们限制一个深度，让它去遍历更多的分支，去更广泛地求解，(其实和\(BFS\)有异曲同工之妙)。

前置知识2：估价函数

定义：

\(f(n)=g(n)+h(n)\)

其中\(f(n)\)是节点的估价函数，\(g(n)\)是现在的实际步数，\(h(n)\)是对未来步数的最完美估价（“完美”的意思是可能你现实不可能实现，但你还要拿最优的步数去把\(h(n)\)算出来，可能不太好口胡，可以参考下面的实例）。

应用：

    void dfs(int dep,int maxdep){
        if(evaluate()+dep>maxdep)return;
        //evaluate函数为对未来估价的函数，若未来估价加实际步数>迭代加深的深度则return。
        if(!evaluate){
            success=1;
            printf("%d\n",dep);
            return;
        }
        ......
    }

前置知识3：\(A^*\)和\(IDA^*\)的区别

\(A^*\)是用于对\(BFS\)的优化；

\(IDA^*\)是对结合迭代加深的\(DFS\) 的优化。

本质上只是在\(BFS\)和\(DFS\)上加上了一个估价函数。

何时使用因题而定：

\(A^*\)（[SCOI2007]k短路）;\(IDA^*\)（[SCOI2005]骑士精神和UVA11212 Editing a Book 就是上面的两道题）。

前置知识毕！！！

现在就是要想一个比较好的估价函数（若估价函数不好的话，优化效率就并不高，例如若估价函数一直为0，那就是爆搜）。

我们可以想一下，每次空白格子和黑白棋子交换，最优的情况就是每次都把黑白棋子移动到目标格子。

那么你的估价函数就出来了：

    const int goal[7][7]={
        {0,0,0,0,0,0},
        {0,1,1,1,1,1},
        {0,0,1,1,1,1},
        {0,0,0,2,1,1},
        {0,0,0,0,0,1},
        {0,0,0,0,0,0}
    };    
    inline int evaluate(){
        R int cnt=0;
        for(R int i=1;i<=5;i++)
            for(R int j=1;j<=5;j++)
                if(mp[i][j]!=goal[i][j])cnt++;
        return cnt;
    }

下面就是爆搜了：

#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
#define R register
using namespace std;
templateinline void read(T &a){
    char c=getchar();T x=0,f=1;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    a=f*x;
}
int n,m,t,mp[7][7],stx,sty,success;
char ch;
const int dx[]={0,1,1,-1,-1,2,2,-2,-2};
const int dy[]={0,2,-2,2,-2,1,-1,1,-1};
const int goal[7][7]={
    {0,0,0,0,0,0},
    {0,1,1,1,1,1},
    {0,0,1,1,1,1},
    {0,0,0,2,1,1},
    {0,0,0,0,0,1},
    {0,0,0,0,0,0}
};
inline int evaluate(){
    R int cnt=0;
    for(R int i=1;i<=5;i++)
        for(R int j=1;j<=5;j++)
            if(mp[i][j]!=goal[i][j])cnt++;
    return cnt;
}
inline int safe(R int x,R int y){
    if(x<1||x>5||y<1||y>5)return 0;
    return 1;
}
inline void A_star(R int dep,R int x,R int y,R int maxdep){
    if(dep==maxdep){
        if(!evaluate())success=1;
        return;
    }
    for(R int i=1;i<=8;i++){
        R int xx=x+dx[i];
        R int yy=y+dy[i];
        if(!safe(xx,yy))continue;
        swap(mp[x][y],mp[xx][yy]);
        int eva=evaluate();
        if(eva+dep<=maxdep)
            A_star(dep+1,xx,yy,maxdep);
        swap(mp[x][y],mp[xx][yy]);//回溯
    }
}
int main(){
    read(t);
    while(t--){
        success=0;
        for(R int i=1;i<=5;i++){
            for(R int j=1;j<=5;j++){
                cin>>ch;
                if(ch=='*')mp[i][j]=2,stx=i,sty=j;//记录起点即为空白格子
                else mp[i][j]=ch-'0';
            }
        }
        if(!evaluate()){printf("0\n");continue;}
        for(R int maxdep=1;maxdep<=15;maxdep++){
            A_star(0,stx,sty,maxdep);
            if(success){printf("%d\n",maxdep);goto ZAGER;}
        }
        printf("-1\n");
        ZAGER:;
    }
    return 0;
}