图形处理（四）基于梯度场的网格编辑-Siggraph 2004

基于梯度场的网格编辑，对应的Paper为《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》，是Siggraph 2004上的一篇paper，这篇paper与基于拉普拉斯的网格变形方法，统称为基于微分域的网格变形算法，这篇paper其实本质上最后的求解公式和基于拉普拉斯的网格变形方法一样，之所以能够siggraph，是因为它通过泊松梯度场的原理进行推导，算法的巧妙之处在于它以顶点(x,y,z)中的每一维作为一个标量场。

这篇paper涉及到的概念：散度、梯度场、标量场、向量场等看起来很难的东西，说实话，对于这篇paper因为网上找不到源代码，我把这篇paper看了好多遍，才把它的代码写出来。学这篇paper时是我第一次学习向量场的相关知识，向量场在三维算法中非常重要，同时当时给我的感觉也真不是一般的难，我看了好多关于标量场、矢量场的相关知识理论，才感觉慢慢理解。

一、相关理论

数学上的泊松方程：

其中f表示标量场，w表示梯度场。

三角网格曲面上的微分算子离散化(引用自《勾画式泊松网格编辑》)：

给定定义在网格曲面上的分段线性标量场f(v)=fi*φi(v),其中v为网格曲面上的任意一点；fi为标量场在网格曲面顶点vi处的函数值；φi(*)为分段线性基函数，它在顶点vi处取值为1 ，在其余顶点处取值为0。我们有标量场f 对应的梯度算子

其中▽φi(*)仅在顶点的邻接三角形上有非零值，且由于φi(*)分段线性，▽φi(*)在各个邻接三角形上为分段常值函数. 从几何角度，可以容易地给
出▽φi(*)在三角形T =(vi，vj ，vk)上的定义:

其中，R90代表绕三角形法向量nT 旋转90度，AT是三角形的面积。类似地，给定定义在三角网格曲面上的分段常值的矢量场w，我们定义在顶点vi处w的散度为：

根据梯度算子和散度算子的定义，最后可以推导出网格曲面上的标量场f在顶点vi处的拉普拉斯算子为：

这篇paper是由浙大的牛人周坤提出来的，算法最后跟拉普拉斯网格编辑的最后公式可以说是一样的，然而它的标量场给我很大的启示，这篇paper直接把(x,y,z)中的x，y，z分别当做一个标量场，然后对标量场求取梯度场，最后求取散度，然后通过泊松方程重建网格模型，实现网格变形。想要更深入的了解泊松重建，可以看看我的另外一篇博文《图像处理（十二）图像融合(1)Seamless cloning泊松克隆-Siggraph 2004》

二、算法实现

1、求取源网格曲面的梯度场，最后求取梯度场的散度。

//计算各个顶点的梯度
void CScaleDeformBrush::Get_Faces_Gradient()
{
	int fn=m_BaseMesh->faces.size();
	m_BaseMesh->need_adjacentfaces();

	#pragma omp parallel for
	for (int i=0;ifaces[i];
		vec vij=m_BaseMesh->vertices[f[1]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
		vec vik=m_BaseMesh->vertices[f[2]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
		vec normalf=vij CROSS vik;
		float areaf=0.5f*len(normalf);
		normalize(normalf);
		for (int k=0;k<3;k++)
		{
		   m_Face_Gradient[i][k]=vec(0,0,0);
		   for (int j=0;j<3;j++)
		   {
			vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(j+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(j+1)%3]];
			vec gradient=float(m_BaseMesh->vertices[f[j]][k]*0.5f/areaf)*(normalf CROSS ei);
			m_Face_Gradient[i][k]=m_Face_Gradient[i][k]+gradient;
			}

		}
	}

}
void CScaleDeformBrush::Compute_Divergence()
{
		//计算顶点的散度
	m_BaseMesh->need_adjacentfaces();
	int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
	#pragma omp parallel for
	for (int i=0;i&adjacentface=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];
		for (int j=0;jfaces[adjacentface[j]];
			for (int k=0;k<3;k++)
			{
				if (f[k]==i)
				{
					vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]];
					vec e1=m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
					vec e2=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
					double cot_angle1=Cot_angle(e2,ei);
					double cot_angle2=Cot_angle(-1.0f*e1,ei);
					for (int xyz=0;xyz<3;xyz++)
					{
						m_vertices[i].VDivergence[xyz]+=0.5*(cot_angle1*(e1 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz])+cot_angle2*(e2 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz]));
					}
					break;
				}
			}
		}

	}

}
//计算v1 v2 之间夹角的余切值
double CScaleDeformBrush::Cot_angle(vec v1,vec v2)
{
	vec vivo=v1;
	vec vjvo=v2;
	double dotvector=vivo DOT vjvo;
	dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
	return dotvector;
}

2、构建泊松方程的系数，矩阵A，也就是计算拉普拉斯矩阵

//邻接顶点的余切权重计算
void CScaleDeformBrush::CotangentWeights(TriMesh*TMesh,int vIndex,vector&vweight,double &WeightSum,bool bNormalize)//计算一阶邻近点的各自cottan权重
{   
	int NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();
	vweight.resize(NeighborNumber);
	WeightSum=0;
	vector&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];
	for (int i=0;itempnei;
		Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);
		double cotsum=0.0;
		for (int j=0;jvertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
			vec vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
			double dotvector=vivo DOT vjvo;
			dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
			cotsum+=dotvector;
		}
		vweight[i]=cotsum/2.0;
		WeightSum+=vweight[i];
	}

	if ( bNormalize ) 
	{
		for (int k=0;k&co_neiv)
{
	Tmesh->need_adjacentedges();
	vector&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id]; 
	int en=u_id_ae.size();
	Tedge Co_Edge;
	for (int i=0;im_edges[u_id_ae[i]];
		int opsi=ae.opposite_vertex(u_id);
		if (opsi==v_id)
		{
			Co_Edge=ae;
			break;
		}
	}
	for (int i=0;ifaces[Co_Edge.m_adjacent_faces[i]];
		for (int j=0;j<3;j++)
		{
			if((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))
			{
				co_neiv.push_back(af[j]);
			}
		}
	}
}
//计算拉普拉斯矩阵
void CScaleDeformBrush::Get_Laplace_Matrix()
{
    int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
	int count0=0;
	vectorbegin_N(vn);
	for (int i=0;ineighbors[i].size()+1;
	}
	typedef Eigen::Triplet T;
	std::vector tripletList(count0);
	for(int i=0;i

3、添加边界约束条件，并求解泊松方程，更新变形结果。

实时更新函数：

void CScaleDeformBrush::Update_V_Position()
{
	Get_Faces_Gradient();//求梯度
	int fn=m_BaseMesh->faces.size();
	if(!m_ScaleFace.empty())
	for (int i=0;ifaces[i].beSelect=false;
		}
	}
	Compute_Divergence();//求散度
	if(!m_MatricesCholesky)//构建拉普拉斯矩阵
	{
		double a=m_Laplace_Matrix.coeff(0,0) +1;
		m_Laplace_Matrix.coeffRef(0,0)=a;
		m_MatricesCholesky=new Eigen::SimplicialCholesky(m_Laplace_Matrix);//矩阵分解
	}
	int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
	for (int i=0;i<3;i++)
	{
		Eigen::VectorXd rhs_xyz(vn);
		for (int j=0;jvertices[0][i];
		Eigen::VectorXd xyz=m_MatricesCholesky->solve(rhs_xyz);//求解方程
		for (int j=0;jvertices[j][i]=xyz[j];//更新结果
		}
	}
	m_ScaleFace.clear();
	m_ScaleFace.resize(fn,false);
	m_BaseMesh->normals.clear();
	m_BaseMesh->FaceNormal.clear();

}

接着我们来看一下用这个算法实现的简单局部编辑结果：

上面的实时局部缩放算法我是通过另外一篇paper《Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》的思想实现的，这篇paper基本上就是拷贝《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》的思想，唯一的创新点在于它的实时交互设计方面，因为我是为了实现实时缩放刷，所以缩放的思想就是根据《Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》进行写代码的。

上面是用了上面的算法进行简单的实时编辑。

这篇paper后面还有后续的算法调整，比如梯度方向调整、还有实现网格融合、几何纹理Transfer。其中梯度方向调整是实现保特征变形的必备条件，因此如果你想要实现完整的算法，就要对梯度方向进行调整，这个可以参考我的以一篇博文《基于旋转不变量的网格变形》。在这里，我就不详细讲方向调整了，方向调整有专门的算法，paper很多。

须知：基于梯度域的变形方法和拉普拉斯网格变形算法一样，微分坐标不具有旋转不变的特点，在变形的时候，会发生曲面细节扭曲，需要对微分坐标，或者梯度方向进行调整，才能实现保特征变形，要实现旋转不变的变形，可以参考我的另外一篇博文《基于旋转不变量的网格变形》以此实现旋转不变的特点。

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参考文献：

1、《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》

2、微分网格处理技术

3、勾画式泊松网格编辑