算法图解第七章笔记与习题（狄克斯特拉算法）

算法图解第七章笔记与习题（狄克斯特拉算法）

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7.1 狄克斯特拉（Dijkstra）算法

广度优先算法可以找出在最短路径，而狄克斯特拉算法可以找出最快路径。

狄克斯特拉算法包含4个步骤：

  (1) 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。

  (2) 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。

  (3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。

  (4) 计算最终路径。

7.2 术语介绍

• 迪杰斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）。

• 带权重的图称为加权图（weighted graph），不带权重的图称为非加权图（unweighted graph）。

要计算非加权图中的最短路径，可使用广度优先搜索。要计算加权图中的最短路径，可使用狄克斯特拉算法。

图中可能会有环，即可以走回原点的图。

对于无向图来说，每条边都是一个环。狄克斯特拉算法只适用于有向无环图（directed acyclic graph，DAG）。

狄克斯特拉算法的关键理念是：找出图中最便宜的节点，并确保没有到该节点的更便宜的路径！

7.3 负权边

负权边：在图中，可能出现边的权重为负数的情况，即经过这条边时，花销反而减少。

如果有负权边，则不能使用狄克斯特拉算法。

因为狄克斯特拉算法有一个前提假设：对于处理过的节点，没有前往该节点的更短路径。而负权边破坏了这一假设，使得算法不成立。

在包含负权边的图中，要找出最短路径，可使用另一种算法——贝尔曼-福德算法（Bellman-Ford algorithm）。

7.4 实现

以下图为例实现狄克斯特拉算法的代码：

要解决这个问题，需要先画出三个散列表：

随着算法的进行，将不断更新散列表costs和parents。

首先需要实现这个图，由于需要同时存储邻居和前往邻居的开销，因此需要使用散列表嵌套散列表。

graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

另外，仍需要一个散列表来存储每个节点的开销（指从起点出发前往该节点需要的时间）。以及一个散列表存储父节点，用来更新最短路径。

最后还需要一个数组用来记录处理过的节点，因为对于同一个节点，不需要多次处理。

算法的整体流程图如下：

# 添加节点和邻居
graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2
 
graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
 
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
 
graph["fin"] = {}  # 终点没有邻居
 
# 存储每个节点开销的散列表
infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity
 
# 存储父节点的散列表
parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None
 
processed = []  # 一个数组，用于记录处理过的节点。因为对于同一个节点，不用处理多次。
 
def find_lowest_cost_node(costs):
    lowest_cost = float("inf")
    lowest_cost_node = None
    # 遍历所有的节点
    for node in costs:
        cost = costs[node]
        # 如果当前节点的开销更低且未处理过
        if cost < lowest_cost and node not in processed:
            # 就将其视为开销最低的节点
            lowest_cost = cost
            lowest_cost_node = node
    return lowest_cost_node
 
# 在未处理的节点中找出开销最小的节点
node = find_lowest_cost_node(costs)
# 这个while循环在所有节点都被处理过后结束
while node is not None:
    cost = costs[node]
    # 遍历当前节点的所有邻居
    neighbors = graph[node]
    for n in neighbors.keys():
        new_cost = cost + neighbors[n]
        # 如果经当前节点前往该邻居更近
        if costs[n] > new_cost:
            # 就更新该邻居的开销
            costs[n] = new_cost
            # 同时将该邻居的父节点设置为当前节点
            parents[n] = node
    # 将当前节点标记为处理过
    processed.append(node)
    # 找出接下来要处理的节点，并做循环
    node = find_lowest_cost_node(costs)
 
print ("Cost from the start to each node:")
print (costs)
#Cost from the start to each node:
{'a':5, 'b':2, 'fin':6}

7.5 小结

• 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
• 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
• 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
• 如果图中包含负权边，请使用贝尔曼·福德算法。

练习

习题7.1：

• 在下面的各个图中，从起点到终点的最短路径的总权重分别是多少？

A：起点→5→2→1，到达终点，总权重为8。

B：起点→10→20→30，到达终点，总权重为60。

C：起点→2→2，到达终点，总权重为4。（用狄克斯特拉算法无法获取最短路径）