IST：Iterative Shrinkage/Thresholding和Iterative Soft Thresholding

题目：IST：Iterative Shrinkage/Thresholding和Iterative Soft Thresholding

        本篇是对压缩感知重构算法之迭代软阈值(IST)的延续，可能需要以下基础：软阈值(Soft Thresholding)函数和硬阈值(Hard Thresholding)函数。

        前面我们在讨论迭代软阈值算法时提到，一般文献中出现的IST或ISTA简称中的“S”并非指的是“soft”，而是“shrinkage”，即“Iterative Shrinkage/ThresholdingAlgorithm”，那么Iterative Soft Thresholding和Iterative Shrinkage/Thresholding究竟有什么区别呢？是不是同一个算法的不同称呼呢？由于找不出一篇具体的、权威的IST算法起源文献，本篇就通过多篇文献中与IST有关的蛛丝马迹尝试去探索一下这个问题的真相……

        首先给出本文对此问题的结论：

        Iterative Soft Thresholding是Iterative Shrinkage/Thresholding的一种特殊情况，即每次迭代(iteration)时正好是求软阈值(soft thresholding)函数时的特殊情况。

        另外，你要认为它们是一样的也可以，这就是一个狭义和广义的问题。

        接一来，我们来看一看文献中有关IST的内容：

【1】Daubechies I, Defrise M, Mol C D.An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with asparsity constraint[J]. Communications on Pure & Applied Mathematics,2004, 57(11):1413–1457.

        本篇文献经常被引为IST的提出文献之一，但该文献中并没有明确出现IST的简称。

        首先看文中的一处描述：这里Iterative、Shrinkage、Thresholding三个单词都出现了，虽然没有连在一起：

        然后在Theorem3.1中出现了“shrinkage operator”，这是一个很关键的词，因为我们在上篇中曾谈到之所以将算法称为Iterative Soft Thresholding是因为每一次迭代执行Soft Thresholding函数：

        这个“shrinkage operator”的定义为式(17)，如下：

式(17)的定义又引用到了式(14)和式(16)：

注意：式(14)中的(F_w,p)^-1表示求反函数。当p=1时，可得式(16)：

文中提到的式(10)定义如下：

注意：式(16)即为我们熟悉的Soft Thresholding函数。

        因此，我们得出一个结论，“Soft Thresholding”是“shrinkage operator”当p=1时的一种特殊情况。

        排除同名的可能性，本文献的第一作者Ingrid Daubechies即为著名的db系列小波基(Daubechies小波)提出者，也是《小波十讲》的作者。

【2】Elad M.Why Simple ShrinkageIs Still Relevant for Redundant Representations?[J]. IEEE Transactions onInformation Theory, 2006, 52(12):5559-5569.

        我们接着来看“Shrinkage”：

        这里提到的式(7)和式(6)分别是：

        而这里提到的Fig.2如图所示：

        图名里提到的LUT是指lookup table (LUT) function。注意：图中的左上图为Soft Thresholding函数，而右上图为Hard Thresholding函数。

        因此，我们得出一个结论：Soft Thresholding和Hard Thresholding是“Shrinkage”的一种特殊情况，分别是当式(6)中的ρ(z)=|z|(1范数)和ρ(z)=|z|⁰(0范数)。

【3】Elad M.A wide-angle view atiterated shrinkage algorithms[J]. Proceedings of SPIE - The InternationalSociety for Optical Engineering, 2007, 6701(6701):26--29.

        我们接着来看“Shrinkage”：

注意这里提到的经典的Donoho-Johnston shrinkage method是由参考文献[18]提出，这里的参考文献[13][18]是如下两篇文献：

        还记得这两篇文献么？Soft Thresholding和Hard Thresholding是由[18]提出的。

        接下来，有一段非常明确的有关“Shrinkage”的描述

        注意后面加了波浪下划线的话：得到的“Shrinkage”函数是一条将输入x0映射为输出xopt的曲线，这个函数将原点附近范围的值映射为0，出了这个范围的值被“shrinked”，因此有了这个operator的名字。

        值得注意的是，当p=1，求解方程(12)将得到soft thresholding函数。

【4】Bioucas-DiasJ M, Figueiredo M A T.A new TwIST: two-stepiterative shrinkage/thresholding algorithms for image restoration[J]. IEEETransactions on Image processing, 2007, 16(12): 2992-3004.

        这篇文献对IST的阐述更为清晰。首先看这篇文献要解决的问题(1)：

        然后看一段综述，这里明确提到Iterative Shrinkage/Thresholding(IST)：

        注意这里多次提到IST多次被“independently”提出。文中接下来又提到了“shrinkage”函数：

        文中提到的denoising operator式(3)如下所示：

        也就是说这里讨论的shrinkage function即为denoising operator式(3)的解。当p=1时，denoising operator(3)由式(8)给出：

        可以看出，式(8)就是soft thresholding函数，也就是说soft thresholding函数是shrinkage function当p=1时的一种特殊形式。

        文中明确给出了IST算法：

        而原始的IST算法是当β=1时的特殊情况。从式(13)可以看出，Iterative Soft Thresholding 是Iterative Shrinkage/Thresholding的一种特殊情况。

【5】Bredies K,Lorenz D.Iterative soft-thresholdingconverges linearly[R]. Zentrum für Technomathematik, 2007.(Available at: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.245.1143&rep=rep1&type=pdf)

        直接讨论Iterative Soft Thresholding的文献较少，本文献即直接讨论了Iterative Soft Thresholding的收敛情况。文中提到Iterative Soft Thresholding是为了解决式(1.1)：

        这个式(1.1)并不太熟悉，原因在于正则项|u_k|（即1范数）前面的系数为随k的变化是变化的，其实这个并不影响什么，将式(1.1)按soft thresholding推导过程中面对的优化问题拆开，即可知这个影响的只是每次求软阈值时门限不一样而已。

        从文中以下描述可以看出，本篇文献即为Iterative Soft Thresholding算法：

        另外，文中提到了Iterative Soft Thresholding算法的其它名字如thresholded Landweber。

【6】Beck A, Teboulle M.A FastIterative Shrinkage-Thresholding Algorithm for Linear Inverse Problems[J].Siam Journal on Imaging Sciences, 2009, 2(1):183-202.

        本篇文献实际上是把Iterative Soft Thresholding和Iterative Shrinkage/Thresholding认为是同一种算法：

        另外，文中也提到了Iterative Shrinkage/Thresholding的一些其它名字：

【7】Wright S J,Nowak R D, Figueiredo M A T.Sparsereconstruction by separable approximation[J]. IEEE Transactions on SignalProcessing, 2009, 57(7): 2479-2493.

        本篇文献中提到了更多Iterative Shrinkage/Thresholding的一些别名，虽然这些别名并不常见：

【8】Nowak R D, Wright S J.Gradientprojection for sparse reconstruction: Application to compressed sensing andother inverse problems[J]. IEEE Journal of selected topics in signalprocessing, 2007, 1(4): 586-597.

        将本篇文献放在这里并不是为了探讨shrinkage的含义。本文献是为了求解优化问题：

        熟悉BPDN的知道，这就是基追踪降噪问题。文中有一段有关IST的描述：

其中文中的IST全称为：

文中的CS全称为：

        注意最后一句，文献说IST对于解决压缩感知问题可能并不是很有效，原因是“it may be loose in the CS case,where matrix usually has many fewer rows than columns.”。对于这一点我有些疑问，原因是经过debias后，我们的IST能够进行压缩感知重构。