三维空间里点到直线的距离

三维欧式空间点到直线的距离计算方法。

使用叉积的表示方法

直线用固定点 O 对应的向量 o⃗  和直行的方向单位向量 a⃗ 0 表示；任意点 Q 对应的向量 q⃗  。 则利用向量叉积或外积的几何意义，外积的模等于两个向量为邻边的平行四边形的面积，从而可以得到三维空间点到直线的距离公式。

所用到的叉积或外积，仅在三维空间有定义，所以，适用范围也仅限三维空间。因为点和直线没有在上关系时恰好唯一确定一个平面，所以，图示可以仅用二维图表示。

http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html

叉积的定义方法，

最舒服的应该是：

a×b=[a]×b=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥⎡⎣⎢b1b2b3⎤⎦⎥

其中一个关键的反对称矩阵的定义是这样的：

[a]×=def⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥

这个表示方法在计算机视觉的针孔相机标定中有特殊重要的地位。

我感觉这个表示方法比常见的如下的计算行列式的办法舒服些：

u×v=∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣

要想了解更多，请看维基百科；尽量英文版本，内容丰富准确。

不使用叉积的定义方法

不使用叉积也能轻松表达。当然不是直接代数结果的形式。我说的是使用矩阵。投影矩阵。这个办法实际上在另外一篇博客里面已经使用过。

其几何意义是：
（1）计算直线外的点 P 与直线上固定点 X 之间的差值向量；
（2）计算沿直线方向 W 的初等平行投影矩阵；
（3）把差值向量 PX 沿直线方向作投影得到新向量。新向量的模就是点 P 到直线 XW 的距离。

具体的公式此处就不再写了。