质因数分解

判断质数

• 计算 n 的算数平方根 k
• 判断 2..k 是否存在能被 n 整除的数
• 如果存在一个，return false
• 如果最后跳出了循环，说明不存在，return true
• 检验 2，3 这种特殊情况是否满足（对于2，3这种情况，k=1，不满足循环变量判定式，不会进入for内部的语句，直接 return true）

bool isPrime(int n) {
    int k = (int) sqrt(n); // n 的算术平方根
    for (int i = 2; i <= k; ++i) {
        if (n % i == 0)
            return false; // 能被整除的就不是质数
    }
    return true;
}

测试

int main() {
    for (int i = 2; i < 30; ++i) {
        cout << i << '\t' << isPrime(i) << endl;
    }
    return 0;
}

分解质因数

• 判断 n 是不是质数
• 如果是，直接输出 1×n
• 如果不是，循环判定，寻找 能被n整除且是质数的数

void factor(int n) {
    if (isPrime(n))
        cout << "1×" << n << endl;
    else {
        while (!isPrime(n)) {
            int k = (int) sqrt(n);
            int i;
            for (i = 2; i <= k; i++) {
                if (isPrime(i) && (n % i == 0)) // 能被n整除且是质数
                    break;
            }
            cout << i << "×";
            n /= i;
        }
        cout << n << endl;
    }
}

埃拉托色尼筛

• 与上面方法的唯一区别在于牺牲了空间
• 在每一轮循环中都需要一个griddle数组存储 [2,k] 之间的质因数

void factor(int n) {
    if (isPrime(n))
        cout << "1×" << n << endl;
    else {
        while (!isPrime(n)) {
            int k = (int) sqrt(n);
            int griddle[k - 1]; //最大筛长
            int count = 0;
            for (int i = 2; i <= k; i++) {
                if (isPrime(i)) {
                    griddle[count] = i; //将筛出的质因数组成数组
                    count++;
                }
            }
            int i;
            for (i = 0; i < count; i++) { //count用来记录筛的长度
                if (n % griddle[i] == 0) {
                    break;
                }
            }
            cout << griddle[i] << "×";
            n /= griddle[i];
        }
        cout << n << endl;
    }
}

测试

int main() {
    for (int i = 2; i < 30; ++i) {
        cout << i << '\t';
        factor(i);
    }
    return 0;
}

输出

2   1×2
3   1×3
4   2×2
5   1×5
6   2×3
7   1×7
8   2×2×2
9   3×3
10  2×5
11  1×11
12  2×2×3
13  1×13
14  2×7
15  3×5
16  2×2×2×2
17  1×17
18  2×3×3
19  1×19
20  2×2×5
21  3×7
22  2×11
23  1×23
24  2×2×2×3
25  5×5
26  2×13
27  3×3×3
28  2×2×7
29  1×29