线性代数-线性方程组

向量

【义】3.1 n个有次序的数a1 ， a2 ， …， an 组成的数组称为n维向量， ai 称为向量的第i个分量

【义】3.2 设向量

则向量（ a1 ＋b1 ， a2 ＋b2 ， …， an ＋bn ） T 称为向量α与β的和， 记为α＋β

【义】3.3 设α＝（ a1 ， a2 ， …， an ） T ， k为实数， 则向量（ ka1 ， ka2 ， …， kan ） T 称为数k与向量α的乘积， 简称数乘， 记为kα， 即

【义】3.4 设有向量组α1 ， α2 ， …， αn 和向量β， 若存在一组数k1 ， k2 ， …， kn ， 使得

那么称β是α1 ， α2 ， …， αn 的线性组合或者称β能由α1 ， α2 ， …， αn 线性表示

【例】已知α1 ＝（ 1， 2， 1） T ， α2 ＝（ 1， 0， 1） T ， α3 ＝（ 2， 3， 0） T ， β＝（ 2， -1， 4） T ， 问β能否由α1 ， α2 ， α3 线性表示

所以得到一个关于k1 ， k2 ， k3 的线性方程组

由于系数矩阵的行列式

由克拉默法则知方程组有唯一解

故β能由α1 ， α2 ， α3 唯一线性表示且β＝α1 ＋3α2 －α3

【义】3.5 设向量组（ Ⅰ） α1 ， α2 ， …， αm 和向量组（ Ⅱ） β1 ， β2 ， …， βn ， 若向量组（ Ⅱ） 中的每一个向量都能由向量组（ Ⅰ） 线性表示， 则称向量组（ Ⅱ） 能由

向量组（ Ⅰ） 线性表示

【理】3.1 设向量组（ Ⅰ） 和向量组（ Ⅱ） 如上所述， 则向量组（ Ⅱ） 能由向量组（ Ⅰ） 线性表示的充要条件是存在一个m×n的矩阵K， 使得
（ β1 ， β2 ， …， βn ） ＝（ α1 ， α2 ， …， αm） K
即：B＝AK
其中A＝（ α1 ， α2 ， …， αm） ， B＝（ β1 ， β2 ， …， βn ） ， K为线性表示系数矩阵

向量组的线性相关性

【义】3.6 设有向量组α1 ， α2 ， …， αn ， 若存在不全为零的数k1 ， k2 ， …， kn ， 使得

则称向量组α1 ， α2 ， …， αn 线性相关， 否则称为线性无关。换言之， 若α1 ， α2 ， …， αn 线性无关， 则（ 3.3） 式成立当且仅当k1 ＝k2 ＝…＝kn ＝0
【性】3.1 当向量组只有一个向量α时， α线性无关当且仅当α≠0， α线性相关当且仅当α＝0
【性】3.2 包含零向量的任何向量组都线性相关

【理】3.2 向量组α1 ， α2 ， …， αm线性相关的充分必要条件是： 其中至少有一个向量可由其余向量线性表示
【理】3.3 向量组α1 ， α2 ， …， αm线性无关， 而向量组α1 ， α2 ， …， αm， β线性相关， 则β可由α1 ， α2 ， …， αm线性表示， 且表达式唯一
【理】3.4 若向量组中有一部分向量（ 部分组） 线性相关， 则整个向量组线性相关
【推】3.2 线性无关向量组的任一部分组皆线性无关
【理】3.5 （1）若r维向量αi ＝（ ai1 ， ai2 ， …， air ） T （ i＝1， 2， …， m） 线性无关， 则每一个向量各添上一个同位置分量后， 得到的r＋1维向量组βi ＝（ ai1 ， ai2 ，
…， air ， ti ） T （ i＝1， 2， …， m） 也线性无关
（2）若r＋1维向量组βi ＝（ ai1 ， ai2 ， …， air ， ti ） T （ i＝1， 2， …， m） 线性相关， 则每一个向量各减少一个同位置分量后， 得到的r维向量组αi ＝（ ai1 ， ai2 ， …， air
） T （ i＝1， 2， …， m） 也线性相关

【理】3.6 设α1 ， α2 ， …， αn 为n个n维向量， 则α1 ， α2 ， …， αn 线性相关的充要条件是∣A∣＝0， 这里A＝（ α1 ， α2 ， …， αn ）
----------证：不妨设

令：

则α1 ， α2 ， …， αn 线性相关的充要条件是存在一组不全为零的数x1 ， x2 ， …xn 使得（ 3.6） 式成立， 即齐次线性方程组

有非零解， 由克拉默法则知（ 3.7） 式有非零解的充要条件是∣A∣＝0， 定理得证

【理】3.7 n＋1个n维向量α1 ， α2 ， …， αn＋1 必线性相关
----------证：对每个αi 添加等于零的第n＋1个分量， 得到延伸组向量β1 ， β2 ， …， βn＋1 ， 易见由β1 ， β2 ， …， βn＋1 构成的方阵的行列式为零． 由定理3.6知β1 ， β2 ， …， βn
＋1 线性相关， 再由定理3.5可知它们对应的缩短组也线性相关
【推】3.4 当m＞n时， m个n维的向量组线性相关

向量组的秩

【义】3.7 如果向量组（ Ⅰ） 中有s个向量α1 ， α2 ， …， αs ， 满足：

1. α1 ， α2 ， …， αs 线性无关
2. 向量组（ Ⅰ） 中的任一向量α可以由α1 ， α2 ， …， αs 线性表示
   则称α1 ， α2 ， …， αs 为向量组（ Ⅰ） 的一个极大线性无关组

【义】3.8 若两个向量组可以相互线性表示， 我们称这两个向量组等价

【性】3.3 向量组与它的极大线性无关组等价
【性】3.4 向量组的任意两个极大线性无关组等价

【推】3.5 如果向量组α1 ， α2 ， …， αs 可由β1 ， β2 ， …， βt 线性表出， 且α1 ， α2 ， …， αs 线性无关， 那么s≤t
----------证：为引理3.1的逆否命题
【引理】3.1 若向量组α1 ， α2 ， …， αs 可由β1 ， β2 ， …， βt 线性表出， 且s＞t， 那么α1 ， α2 ， …， αs 线性相关

----------证：因为α可由β线性表示， 所以

所以，

即x1 α1 ＋x2 α2 ＋…＋xs αs ＝0， 所以α1 ， α2 ， …， αs 线性相关

【推】3.6 等价的两个线性无关的向量组所含向量个数相等
-------证：设两个向量组（ Ⅰ） 与（ Ⅱ） 等价且均线性无关， 其包含的向量个数分别为s和t， 由推论3.5有s≤t且t≤s， 所以t＝s

【义】3.9 向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩 ． 向量组α1 ， α2 ， …， αs 的秩用r（ α1 ， α2 ， …， αs ） 表示．
【性】3.5 向量组线性无关的充要条件是它所含的向量个数等于它的秩； 反之， 若向量组的秩小于它所包含的向量的个数， 则向量组线性相关
【推】3.7 设向量组（ Ⅰ） 的秩为r1 ， 向量组（ Ⅱ） 的秩为r2 ， 若向量组（ Ⅰ） 可由向量组（ Ⅱ） 线性表示， 则有r1 ≤r2
【推】3.8 等价的向量组有相同的秩

【推】3.9 若向量组（ Ⅰ） α1 ， α2 ， …， αs 可由向量组（ Ⅱ） β1 ， β2 ， …， βt 线性表示， 则

【推】3.10 若向量组（ Ⅰ） α1 ， α2 ， …， αs 与向量组（ Ⅱ） β1 ， β2 ， …， βt 等价， 则

【理】3.8 设A为m×n的矩阵， 则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩， 也等于它的行向量组的秩
【理】3.9 矩阵的初等行（ 列） 变换不改变矩阵的列（ 行） 向量之间的线性关系
定理3.9给出了求向量组α1 ， α2 ， …， αm的极大线性无关组的方法

1. 将向量组中的每个向量作为列向量构成矩阵
   
2. 用初等行变换将A化为行最简形矩阵B

3. 如下
   

【理】3.10 对于非齐次线性方程组（ 3.10） ， 有如下结果成立

【理】3.11 设A为上述齐次线性方程组的系数矩阵，

1. 若r（A） ＝n， 则齐次线性方程组只有唯一零解
2. 当r（A） ＝r＜n， 则齐次线性方程组除零解外， 还有无穷多组解
   【推】3.11 若齐次线性方程组中方程的个数m小于未知量的个数n， 则该方程组必有非零解
   【推】3.12 含有n个未知量， n个独立方程的齐次线性方程组AX＝0有非零解的充要条件是它的系数行列式∣A∣＝0

齐次线性方程组解的结构

【性】3.6 齐次线性方程组AX＝0的解向量的和仍为它的解向量
【性】3.7 设齐次线性方程组AX＝0的一个解向量为η， 对任意常数k， kη仍为它的解向量
【义】3.10 设η1 ， η2 ， …， ηs 为齐次线性方程组AX＝0的一组解向量， 且满足

1. η1 ， η2 ， …， ηs 线性无关
2. AX＝0的任一个解向量均可由η1 η2 ， …， ηs 线性表示
   则称η1 ， η2 ， …， ηs 为齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系

【理】3.12 对于齐次线性方程组AX＝0， 若r（A） ＝r＜n， 则方程组的基础解系一定存在， 且基础解系所含向量个数为n－r

【性】3.8 设η1 ， η2 为非齐次线性方程组AX＝b的两个解向量， 则η1 －η2 为其导出组AX＝0的解向量
【性】3.9 非齐次线性方程组AX＝b的解η1 与导出组AX＝0的解η2 的和η1 ＋η2 为AX＝b的解

【理】3.13