之前早就想把学过的算法记录下来，但是一直没有时间。最近在给五年级的小学生上OI的算法课，所以正好可以把所思所想留存下来。
一、为什么需要高精度运算
当要处理的数据超过了任何一种数据类型所能容纳的范围，这种数称为高精度数，必须自定义类型来存储。同时还要自行编写高精度数的运算函数（加\减\乘\除等）。
基本整数类型的取值范围
| 类型 | 数值范围 | 占字节数 |
|---|---|---|
| char | -128 .. 127 | 1 |
| unsigned char | 0 .. 255 | 1 |
| int (long) | -2147483648 .. 2147483647 | 4 |
| unsigned int (long) | 0 .. 4294967295 | 4 |
| long long | -9223372036854775808 .. 9223372036854775807 | 8 |
| unsigned long long | 0 .. 18446744073709551615 | 8 |
二、高精度数的输入和存储
在运算对象的数值范围为任何数据类型所无法容纳的情况下，采用数组（每一个元素对应一位十进制数，由其下标顺序指明位序号）来表示一个数，就称为高精度数。
- 采用字符串形式输入，并将其转化为整数数组。
- 用一个整型变量记录数据的实际长度（即数组的元素个数）
字符串到整数数组的转换
字符串存储时，数的高位被存放在字符串的低位。转换成整数数组时，要把高精度数的低位“还原”到数组的低位。这样才便于后续计算。a[1]存放最低位，a[6]存放最高位。高精度数的位数可存放在a[0]中。也可以另用一个变量存放。
例如
字符串s: 763218
转化成整数数组：6812367
其中数组第一个元素6是数组的位数
高精度数类型的定义与读入
const int MAXLEN = 241; //最大长度为240位
typedef int hp[MAXLEN]; //定义hp为高精度类型
void Str2hp(string s,hp &a) //s转换后存入a
{
int i, len;
memset(a, 0, sizeof(a)); //clear a
len = s.size();
a[0] = len; //save the length
for (i=0; i输出
void Print(hp a)
{
int i, len;
len = a[0]; //get the length
for (i=len; i >=1; i--)
cout << a[i];
cout << endl;
}
三、高精度加法
问题表述：输入a，b（<10^240）两个数，输出a+b的值。
样例输入：
99999999999999999999
12345678901234567890
样例输出：
112345678901234567889
算法思想类似于竖式加法运算，注意进位处理。把计算结果存到c中：
- 先计算：直接将a[i]和b[i]相加，结果放在c[i]中。
- 处理进位：从最低位开始，逐位整理：把本位模10，向高一位进位。
c[i+1] += c[i] / 10;
c[i] = c[i] % 10;
- 去掉最高位的0：因为两数相加,也可能不产生进位，因此要把这种情况下最高位的0去掉，其实就是减小和的长度len的值。
while ( (len>1) && (c[len] ==0))
len--;
void add(hp a, hp b, hp &c) //Add a, b to c
{
hp d;
int i, len;
memset(d, 0, sizeof(d)); //d清0
if (a[0] > b[0]) len = a[0];//求和的位数
else len = b[0];
len++; //位数加1
for (i=1; i<=len; i++) //逐位相加
d[i] = a[i] + b[i];
for (i=1; i 1) && (d[len] == 0)) //处理最高位
len--;
d[0] = len;
memcpy(c, d, sizeof(d)); //保存结果
}
四、高精度减法
问题表述：输入a，b（<10^240）两个数，输出a-b的值。
样例1输入：
456
409
样例1输出：
47
样例2输入：
999
1000
样例2输出：
-1
- 比较a和b的大小，从而确定结果的正负号
- a、依照由低位至高位的顺序进行减法运算；b、在每一次位运算中，若出现不够减的情况(a[i]
void sub(hp a, hp b, hp &c) //a must be greater than b
{
int i, len;
hp d;
memset(d, 0, sizeof(d)); //clear d
len = a[0];
for (i=1; i<=len; i++)
d[i] = a[i] - b[i];
for (i=1; i<=len; i++)
if (d[i] < 0) //处理借位
{
d[i] += 10;
d[i+1] -= 1;
}
while ( (len > 1) && (d[len] == 0) ) //整理差的长度
len--;
d[0] = len;
memcpy(c, d, sizeof(d));
}
注意：保存结果的数组使用前一般都要清零；循环控制变量一般用 i 、 j 、 k，一般不要用m、n等，长度用len表示，这样容易找错误。
五、比较两个高精度数大小
当a>b，返回1； a 例题：求Fibonacci数列的第n项 问题表述：精确计算n的阶乘n!（7 问题表述：输入a，b（<10^100）两个数，输出a*b的值。 问题表述：输入a（<10^240） ，b（<10^9）两个数，输出a/b的值和余数。 阶乘之和，求1！+2！+3！+…+n！int compare(hp a, hp b)
{
int i;
if (a[0] > b[0]) return 1;
if (a[0] < b[0]) return -1;
for (i=a[0]; i>=1; i--)
if (a[i] > b[i]) return 1;
else if (a[i] < b[i]) return -1;
return 0;
}
Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。问题：有雌雄一对兔子，假定过两个月后便每个月可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？已知：N <= 1000
当N<=93时，可以用基本类型long long解决，但是大于93就需要使用到高精度算法。void fibo (int n, hp & ans)
{
hp f0, f1, t;
int i;
memset(ans, 0, sizeof(ans));
f0[0] = 1; f0[1] = 1;
f1[0] = 1; f1[1] = 1;
if ( (n == 1) || (n == 2) )
{
ans[0] = 1;
ans[1] = 1;
return ;
}
for (i=3; i<=n; i++)
{
add(f0, f1, t);
memcpy(f0, f1, sizeof(f1));
memcpy(f1, t, sizeof(t));
}
memcpy(ans, f1, sizeof(f1));
}
六、高精度数乘以整形数运算
20
样例输出：
2432902008176640000
因为80!<8080<10080=(102)80=10^160，所以80！可以用160个数组元素a[1]a[2]…a[160]来存放，一个数组元素存放一个数位上的数字。同样的方法，可以估算出100！可以用200位的数组来存放。void multiply(hp a, int b,hp &c)
{
hp d;
int i, len, t;
memset(d, 0, sizeof(d));
len = a[0];
for (i=1; i<=len; i++)
{
t = a[i] * b + d[i];
d[i] = t % 10;
d[i+1] = t / 10;
}
len++;
while (d[len])
{
d[len+1] = d[len] / 10;
d[len] %= 10;
len++;
}
while ( (d[len] == 0) && ( len > 1))
len--;
d[0] = len;
memcpy(c, d, sizeof(d));
}
int main()
{
int n, i;
hp ans;
cin >> n;
ans[0] = 1;
ans[1] = 1;
for (i=2; i<=n; i++)
multiply(ans, i, ans);
for (i=ans[0]; i>=1; i--)
cout << ans[i];
cout << endl;
return 0;
}
七、高精度数乘以高精度数
样例输入：
12345678900
98765432100
样例输出：
1219326311126352690000
void high_multiply(hp a, hp b, hp &c)
{
hp d;
int i, j, len;
memset(d, 0, sizeof(d));
for (i=1; i<= a[0]; i++)
for (j=1; j<= b[0]; j++)
d[i+j-1] += a[i] * b[j];
len = a[0] + b[0] + 1;
for (i=1; i<= len; i++)
{
d[i+1] += d[i] / 10;
d[i] = d[i] % 10;
}
while ((d[len] == 0) && (len > 1))
len--;
d[0] = len;
memcpy(c, d, sizeof(d));
}
int main()
{
int i;
hp a, b, ans;
string s1, s2;
cin >> s1;
cin >> s2;
str2hp(s1, a);
str2hp(s2, b);
high_multiply(a, b, ans);
for (i=ans[0]; i>=1; i--)
cout << ans[i];
cout << endl;
return 0;
}
八、高精度数除以整形数
样例输入：
99887766554433221100
2001920
样例输出：
49895983133408
1077740
基本方法是从被除数的最高位开始，逐位计算商和余数。存储商。余数则转移到下一次的被除数中。注意在下一次的计算中，余数要乘以10，然后再加上当前位的被除数。void divide(hp a, int b, hp &c, int &r)
{
hp d;
int i, len;
memset(d, 0, sizeof(d));
r = 0;
len = a[0];
for (i = len; i>=1; i--)
{
r = r * 10 + a[i];
d[i] = r / b;
r = r % b;
}
while ( (len > 1) && (d[len] == 0))
len--;
d[0] = len;
memcpy(c, d, sizeof(d));
}
九、练习题
输入数据(sumfac.in)：
一行，一个整数n （n<=100）
输出数据(sumfac.out):
一行，1~n的阶乘之和。
输入样例：
5
输出样例：
153