再寄小读者之数学篇[2014.07.01-2014.12.31]
[再寄小读者之数学篇](2014-12-24 乘积型不等式)
[再寄小读者之数学篇](2014-12-04 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0.$)
试证: $$\bex \left(1+\frac{1}{x}\right)^x>\frac{2ex}{2x+1},\forall\ x>0. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-27 华中科技大学2014年高等代数考研试题第7题)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-27 华中科技大学2014年高等代数考研试题第6题)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-27 华中科技大学2014年高等代数考研试题第4题)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 广义 Schur 分解定理)
设 $A,B\in \bbR^{n\times n}$ 的特征值都是实数, 则存在正交阵 $P,Q$ 使得 $PAQ$, $PBQ$ 为上三角阵.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 正定矩阵乘积的特征值)
设 $A,B$ 都是实正定矩阵, 则 $A^{-1}B$ 的特征值都是正实数.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 分块矩阵求逆)
如果 $A$ 可逆或 $D$ 可逆, 则 $$\bex \sev{\ba{cc} A&B\\ C&D \ea}=|A|\cdot |D-CA^{-1}B| =|D|\cdot |A-BD^{-1}C|. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-26 幂等矩阵的一个充分条件)
若 $A\in \bbR^{m\times n}$ 列满秩, 则 $A(A^TA)^{-1}A^T$ 是幂等矩阵, 其特征值为 $1$ 或 $0$, 且存在正交阵 $Q$, 使得 $$\bex Q^T[A(A^TA)^{-1}A^T]Q=\sex{E_n\atop 0}. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-24 积分中值定理)
积分第一中值定理. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则 $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st \int_a^b f(x)\rd x=f(\xi)(b-a). \eex$$ 推广的积分第一中值定理. 若 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上连续, 且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号, 则 $$\bex \exists\ \xi\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =f(\xi)\int_a^b g(x)\rd x. \eex$$ 积分第二中值定理. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.
(1). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上减, 且 $g(x)\geq 0$, 则 $$\bex \exists\ \xi\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =g(a)\int_a^\xi f(x)\rd x. \eex$$ (2). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上增, 且 $g(x)\geq 0$, 则 $$\bex \exists\ \eta\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =g(b)\int_\eta^b f(x)\rd x. \eex$$ (3). 若函数 $g$ 为单调函数, 则 $$\bex \exists\ \xi\in [a,b],\st \int_a^b f(x)g(x)\rd x =g(a)\int_a^\xi f(x)\rd x +g(b)\int_\xi^b f(x)\rd x. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-24 Abel 定理)
设幂级数 $\dps{g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}$ 在 $|x|<1$ 内收敛, 且 $\dps{\sum_{n=0}^\infty a_n=s}$ 收敛. 则 $$\bex \lim_{x\to 1^-} g(x)=s. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-21 关于积和式的一个不等式)
在 Rajendra Bhatia 的 Matrix Analysis 中, Exercise I.5.8 说: Prove that for any matrices $A,B$ we have $$\bex |\per (AB)|^2\leq \per (AA^*)\cdot \per (B^*B). \eex$$ (The corresponding relation for determinants is an easy equality.)
[再寄小读者之数学篇](2014-11-20 计算二重积分)
(from X.L. Zhen) 计算二重积分 $$\bex \iint_{\bbR^2}e^{-(x^2+xy+y^2)}\rd x\rd y. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$)
$$\bex \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Sine Sum Identity, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 等差数列的部分和)
设 $\sed{a_k}_{k=1}^n$ 为等差数列, 则 $$\bex a_1+\cdots+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Partial Sums of an Arithmetic Sequence, The College Mathematics Journal]. A visual proof that a partial sum of an arithmetic sequence equals the number of the terms times the average of the first and last term.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\sin x/x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上递增)
$$\bex \frac{\sin x}{x}\nearrow. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $\sin x/x$ on $(0,\pi/2)$, The College Mathematics Journal]
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 $\tan x/x$ 在 $(0,\pi/2)$ 上递增)
$$\bex \frac{\tan x}{x}\nearrow. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Monotonicity of $\tan x/x$ on $(0,\pi/2)$, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 一个代数不等式)
$$\bex \sqrt{x^2+x+1}+ \sqrt{y^2+y+1} +\sqrt{x^2-x+1}+ \sqrt{y^2-y+1}\geq 2(x+y). \eex$$ Ref. [Proof Without Words: An Algebraic Inequality, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 关于平方数的交叉和的两个代数等式)
For $n\geq 1$ to be an integer, $$\bex (2n)^2-(2n+1)^2+\cdots+(4n)^2 =-(4n+1)^2+\cdots+(6n)^2, \eex$$ $$\bex (2n+1)^2-(2n+2)^2+\cdots+(4n-1)^2 =-(4n)^2+(4n+1)^2-\cdots+(6n-1)^2. \eex$$ Ref. [Proof Without Words: Alternating Sums, The College Mathematics Journal].
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 有限几何)
每个有限几何的线的条数 $\geq$ 点的个数. 若一个有限几何的线数 $=$ 点数, 则任意两条线都相交.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 多项式)
多项式 $$\bex p(z)=z^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 \eex$$ 的根的估计.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 代数)
Hilbert 零点定理: 设 $\bbF$ 是一个代数闭域, $L$ 是 $\bbF[x_1,\cdots,x_n]$ 的一个真理想, 则 $$\bex \exists\ (a_1,\cdots,a_n)\in\bbF^n\ra f(a_1,\cdots,a_n)=0,\quad\forall\ f\in L. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 数论)
1. 代数数: $\al\in\bbC$ 称为代数数, 如果它是某个系数为有理数的非零多项式的根.
2. 代数数全体构成一个域. (利用伙伴矩阵, 张量积很容易证明)
3. 代数整数: $\al\in\bbC$ 称为代数整数, 如果它是某个首一整系数多项式的根.
4. 代数整数的全体构成一个环.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 矩阵的应用: 友谊定理)
友谊定理: 如果在一群人中任何两个人都恰好有一个共同的朋友, 那么有一个人是每个人的朋友.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-14 正整数的平方根要么为无理数, 要么为整数)
$$\bex \forall\ m\in \bbZ^+\ra \sqrt{m}\in (\bbR\bs \bbQ)\cup \bbZ^+. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-11-02 Herglotz' trick)
设 $f$ 是 $\bbR$ 上周期为 $1$ 的连续可微函数, 满足 $$\bee\label{141102_f} f(x)+f\sex{x+\frac{1}{2}}=2f(x),\quad\forall\ x. \eee$$ 试证: $f(x)=0$, $\forall\ x$.
[再寄小读者之数学篇](2014-11-02 平方和公式在正定矩阵上的推广)
$$\bex A,B>0\ra (A+B)^2\leq 2(A^2+B^2). \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-31 利用夹逼原理求极限)
设 $a,b,c>0$, 求极限 $$\bex \vlm{x}\sex{\frac{a^x+b^x+c^x}{3}}^x. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 Frobenius 范数是酉不变范数)
对任两酉阵 $U,V$, 有 $$\bex \sen{A}_F=\sen{UAV}_F. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 两曲面围成的区域的体积与表面积)
(from M.J. Shu) 设立体 $\vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 围成, 求 $\vSa$ 的体积与表面积.
[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?)
无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?
[再寄小读者之数学篇](2014-10-18 利用 Lagrange 中值定理求极限)
试求 $$\bex \vlm{n}n^2\sex{x^\frac{1}{n}-x^\frac{1}{n+1}},\quad x>0. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-14 二次型与曲面分类)
(from M.J. Shu) 已知二次型 $$\bex f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2bxy+2xz+2yz \eex$$ 的秩是 $2$, 求参数 $b$, 并指出方程 $$\bex f(x,y,z)=4 \eex$$ 表示什么曲面?
[再寄小读者之数学篇](2014-10-09 家里蹲大学数学杂志第310期第7题第1小题修正)
当 $x>0$ 时, 由 $$\beex \bea \int_0^\infty e^{-x\sex{t+\frac{1}{t}}}\rd t &\leq \int_0^1 e^{-\frac{x}{t}}\rd t +\int_1^\infty e^{-xt}\rd t\\ &=\int_1^\infty \frac{1}{se^{xs}}\rd s +\int_1^\infty e^{-xt}\rd t \eea \eeex$$ 即知积分收敛.
[再寄小读者之数学篇](2014-10-08 乘积型 Sobolev 不等式)
$$\bex n\geq 2, 1\leq p<n\ra \sen{f}_{L^\frac{np}{n-p}(\bbR^n)} \leq C\prod_{k=1}^n \sen{\p_k f}_{L^p(\bbR^n)}^\frac{1}{n}. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-10-08 矩阵对称或反对称的一个充分条件)
设$A\in M_{n}(\mathbb F)$,且对任意的$\alpha,\beta\in\mathbb F^n$ 有$$ \alpha^TA\beta=0\Leftrightarrow\beta^TA\alpha=0 $$ 且$A$不是对称矩阵,证明$A^T=-A$.
[再寄小读者之数学篇](2014-09-22 distributions and square integrable functions)
Suppose that $f\in L^2$, $g\in \scrD'$, if $$\bex f=g,\mbox{ in }\scrD', \eex$$ then $f=g\in L^2$. In fact, $\scrD\subset L^2 \ra L^2\subset\scrD'$. Thus $h=f-g=0\in \scrD'$, the zero element is the same in $L^2$ and $\scrD'$, and hence $h=f-g=0\in L^2$, $g=f-(f-g)\in L^2$.
[再寄小读者之数学篇](2014-09-22 北京师范大学考研试题---渐近估计)
[裴礼文, 数学分析中的典型问题与方法 (第 2 版), 北京: 高等教育出版社, 2006 年] (Page 436, T 4.5.14) 若函数 $p(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可积, 且当 $t\to+\infty$ 时, $p(t)=o(t^N)$ ($N$ 为正整数). 又 $\lm<0$, 证明: 当 $t\to+\infty$ 时, $$\bex \int_t^{+\infty} p(\tau)e^{\lm \tau}\rd \tau =o(t^{N+1})e^{\lm t}. \eex$$
$$\beex \bea &\geq \frac{2}{\sqrt{a}}\sez{\frac{(a-I)^2}{4}+aI}\\ &=\frac{2}{\sqrt{a}}\frac{(a+I)^2}{4}\\ &\geq \frac{1}{2}a^\frac{3}{2}. \eea \eeex$$ 不过最后一步我不会. $I$ 不知道正负啊.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-27 $H^{-1}$ 中的有界集与弱收敛极限)
设 $H^{-1}$ 是 $H^1_0$ 的对偶空间, 定义域为 $[0,1]$. 试证:
(1) $\sed{h\sin (2\pi hx);\ h>0}$ 在 $H^{-1}$ 中有界;
(2) 试求 $h\sin (2\pi hx)$ 在 $H^{-1}$ 中的弱极限.
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'(a)=f'(b)$, 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f'(\xi)(\xi-a)=f(\xi)-f(a). \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-17 行列式的计算)
试计算矩阵 $A=(\sin(\al_i+\al_j))_{n\times n}$ ($n\geq2$) 的行列式.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 高阶导数的一个表达式)
设 $f\in C^{n+1}(\bbR)$, 试证: 对 $\forall\ a\in\bbR$, $$\bex \frac{\rd^n}{\rd x^n}\sez{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 与对数有关的不等式)
试证: $$\bex (1+a)\ln (1+a)+(1+b)\ln (1+b)<(1+a+b)\ln (1+a+b),\quad \forall\ a,b>0. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 凹函数与次线性性)
设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $x\in (0,c)$ 时, $f''(x)<0$. 试证: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $$\bex f(a+b)<f(a)+f(b). \eex$$
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $c\in (a,b)$, 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 两个条件给出二阶导中值)
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 则对 $\forall\ x\in [a,b]$, 存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $$\bex f(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b). \eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 任意阶导数在零处为零的一个充分条件)
设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上任意阶可导, 且 $$\bex \forall\ n\in\bbZ^+,\ f\sex{\frac{1}{n}}=0. \eex$$ 试证: $f^{(n)}(0)=0$.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换)
设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \eex$$ 设 $\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\bex \scrA(f(x))=r(x). \eex$$ 试证: $\scrA$ 是一个线性变换, 并求它关于基底 $\sed{1,x,x^2,x^3,x^4}$ 的矩阵.
[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 不可约多项式与重根)
设 $\mathbb{P}$ 为数域, 如果 $p_1(x),\cdots,p_r(x)$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的 $r$ 个两两不同的首相系数为 $1$ 的不可约多项式, 证明: $f(x)=p_1(x)\cdots p_r(x)$ 在数域 $\mathbb{P}$ 上无重根.