最小割

令 \(G=(V,E)\) 是一个网络，有源点 \(s\) 和 汇点 \(t\)。

• 定义一个割 \(C=(S,T)\) 是 \(V\) 的一种划分使得 \(s\in S,t\in T\)，\(C\) 的割集 \(A\) 是集合 \(\{(u,v)\in E:u\in S,v\in T\}\)，割的大小 \(cut=\sum_{e\in A}f_e\)。

• 定义最小割为割的大小最小的割，最小割不唯一。

存在最大流 = 最小割。

以下下标 \(_{min}\) 表示最小割。

• 定义 \(\bigcup A_{min}\) 中的弧称为可行弧，\(\bigcap A_{min}\) 中的弧称为必须弧。

任意割集

• 跑最大流，在残量网络上从 \(s\) 开始 bfs 所能到达的点属于 \(S\)。

可行弧

• 若残量网络上，不存在有向路径 \((u,v)\)，则 \((u,v)\) 为可行弧。

考虑将 \((u,v)\) 割掉，原本的増广路 \((s,u,v,t)\) 替换 \((u,v)\) 段，仍是可行流。

必须弧

• 若残量网络上，同时存在路径 \((s,u)\) 和 \((v,t)\)，则 \((u,v)\) 为必须弧。

先考虑 \((u,v)\) 满流，强制此弧不割，若此时最小割的大小变大，则是必须弧。可以将其流量设为 \(+\infty\)，判断是否出现新的増广路。由于新的増广路一定经过 \((u,v)\)，所以只需要考虑残量网络上是否存在路径 \((s,u)\) 和 \((v,t)\) 即可。

非满流的弧显然不是必须弧，且一定不满足条件。