翻硬币问题

题目

总共有n枚硬币均正面朝上，规则规定每次只能将其中p枚硬币翻面（1≤p≤n）。问最少需要多少次操作才能将所有硬币翻面。

思路

• 先进行n/p次操作，将(n/p - 1)*p枚硬币翻面，令r = n % p，则剩余r + p;
• 考虑将其中x枚反面朝上的硬币翻面，p - x枚正面朝上的硬币翻面；
• 此时剩余正面向上的硬币总数为x + r + p - (p - x) = p，解方程得x = (p - r) / 2;
• 方程有解的前提是x为偶数，故p和r应同奇偶，如p为奇数，每做一次操作，正面向上的硬币总数变换奇偶性；
• 现在讨论n和p的奇偶关系：
  • n为奇数，p为奇数：计k为n/p向上取整
    • k为奇数，可行
    • k为偶数，无解
  • n为偶数，p为偶数：可行。
  • n为奇数，p为偶数：无解。
  • n为偶数，p为奇数：计k为n/p向上取整
    • k为偶数，可行
    • k为奇数，无解
• 应注意n/p介于1到2之间的情况。

答案

如满足上述奇偶讨论的要求：

• 当n/p介于1到2之间时，答案为3；
• 当n/p大于等于2时，答案为n/p向上取整；

不满足则无解。