博弈论问题

博弈论是很有意思的数学问题，如果能够懂其道理，短短几行代码就能将其本质表示出来。

目前我的感受就是：在一场博弈之中，从结果向前推，会出现一个必败态，我们需要做的就是推测是先手还是后手能让对方变成必败态。

一、巴什博奕（Bash Game）
有一堆n个物品，A、B两人轮流从中取（1~m）个物品，最后取光者获胜。
逆向思考，当对手面对（m+1）这种情况时，无论如何不能获胜【一定是m+1】，所以只要你能想办法让对手面对k（m+1）这种情况即可，即当你面对（k（m+1）+r）时取走r，易证r

如果开局n=k（m+1），那么先手必输。
如果开局n=k（m+1）+r，那么先手必赢。

 //A为先手
//N为总数，K为最多取的个数，输出胜者
#include 
int main()
{
    int n;
    int N,K;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d %d",&N,&K);
        if(N%(K+1)) printf("A\n");
        else printf("B\n");
    }
    return 0;
}

这是最简单的博弈问题，我们可以思考一下如果将题目改为最后取的人失败，同时我们将题目中的取东西的上下限改为更加普遍的（p~q）。
在此，找了一道HDU-2897的题。

//有n个物品，一次最少取p个，最多q个
//问先手是否必赢
#include 
int main()
{
    int n,p,q;
    while(scanf("%d %d %d",&n,&p,&q)==3)
    {
        if(n%(p+q)==0) printf("WIN\n");
        else if(n%(p+q)<=p) printf("LOST\n");
        else printf("WIN\n");
    }
}

当n%（p+q）==0时，先手只需要拿q个即可必赢。（当后手取i个时，只需要保证一轮【后-先】取走之和为p+q）
当n%（p+q）=k<=p时，先手拿i个，后手只需要拿（p+q-i）个，就能让最后剩k个，即先手必输，即后手必赢。
当n%（p+q）=k>=p【n=k*(p+q)+p+r】时，先手去p个后，与上种情况刚好相反，先手必赢，即后手必输。

（将其转换的套路掌握，就可有任意变换）

二、威佐夫博弈（Wythoff Game）
有两堆各若干的物品两人轮流从中其中一堆取至少一件物品，至多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。

结论：若两堆物品的初始值为（x，y），且x 记w=(int)[((sqrt(5)+1)/2)*z]; //变化方式
若w=x，则先手必败，否则先手必胜。·

（奇异局）
当（0，0）时，先手必败，【0】
当（1，2）时，先手必败，【1】
当（3，5）时，先手必败，【2】
当（4，7）时，先手必败，【3】
当（6，10）时，先手必败，【4】
当（8，13）时，先手必败，【5】
当（9，15）时，先手必败，【6】
当（11，18）时，先手必败，【7】
......

#include 
#include 

int main()
{
    long long n1,n2,n,temp;
    scanf("%lld",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%lld %lld",&n1,&n2);
        if(n1>n2)
        {
            temp=n1;
            n1=n2;
            n2=temp;
        }
        temp=(n2-n1)*(1+sqrt(5))/2;
        if(temp==n1) printf("B\n");
        else printf("A\n");
    }
    return 0;
}

提示：1.618=（sqrt（5）+1）/ 2。
胜者只需要将非奇异局变为奇异局即可。

三、尼姆博弈（Nimm Game）
有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。
结论：将每堆物品全部异或起来，如果得到的值为0，先手必败，否则先手必胜。

个人认为可以通过逆向判断，直接判断奇偶数（用异或）。

# include

int main()
{
    int N,n,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d",&N);
        ans=ans^N;
    }
    if(ans) printf("A");
    else printf("B");
    return 0;
}

四、斐波那契博弈
有一堆n个物品，两个人轮流取物品，先手最少取一个，至多无上限，但不能把物品取完，之后每次取的物品数量不能超过上一次取的物品数的两倍且至少为一件，取走最后一件物品的人获胜。

结论：先手胜当且仅当n不是斐波那契数（需要存储斐波那契数）。

//HDU2516 此时涵盖了所有int数（？？）
#include 

int ans[55];

int main()
{
    int n;
    ans[0]=1;
    ans[1]=1;
    for(int i=2;i<55;i++)
    {
        ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];
    }
    while(scanf("%d",&n)==1 && n)
    {
        int flag=0;
        for(int i=0;i<55;i++)
        {
            if(ans[i]==n)
            {
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag) printf("Second win\n");
        else printf("First win\n");
    }
}