文章来源:勇幸|Thinking (http://www.ahathinking.com)
昨天和今天学习了并查集和trie树,并练习了三道入门题目,理解更为深刻,觉得有必要总结一下,这其中的内容定义之类的是取自网络,操作的说明解释及程序的注释部分为个人理解。
并查集学习:
一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合,能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作,应用很多,如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属:实现Kruskar算法求最小生成树。
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身,每一个元素的祖先节点也是它本身(也可以根据情况而变)。
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合,其精髓是找到这个元素所在集合的祖先!这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合,只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合,也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先,具体见示意图
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单:
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先,将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图
1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找,但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时,每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度,有没有办法减小这个复杂度呢?
答案是肯定的,这就是路径压缩,即当我们经过"递推"找到祖先节点后,"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了,如下图所示;可见,路径压缩方便了以后的查找。
2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。
1 注意: 2 代码中路径压缩时秩不需变化的,正如Eillen所说,秩只是表示节点高度的一个上界 3 如果用秩进行计数,路径压缩也是不需要变化的 4 因为所属集合的根节点的秩在合并时已经更新,其他子节点的秩不用到也无需再变化; 5 int father[MAX]; /* father[x]表示x的父节点*/ 6 int rank[MAX]; /* rank[x]表示x的秩*/ 7 8 /* 初始化集合*/ 9 10 void Make_Set(int x) 11 { 12 father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化 13 rank[x] = 0; //根据实际情况初始化秩也有所变化 14 } 15 16 /* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/ 17 18 int Find_Set(int x) 19 { 20 if (x != father[x]) 21 { 22 father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华 23 } 24 return father[x]; 25 } 26 27 /* 28 按秩合并x,y所在的集合 29 下面的那个if else结构不是绝对的,具体<strong>根据实际情况</strong>变化 30 但是,宗旨是不变的即,按秩合并,实时更新秩。 31 */ 32 33 void Union(int x, int y) 34 { 35 x = Find_Set(x); 36 y = Find_Set(y); 37 if (x == y) return; 38 if (rank[x] > rank[y]) 39 { 40 father[y] = x; 41 rank[x] += rank[y]; 42 }else 43 { 44 if (rank[x] == rank[y]) 45 { 46 rank[y]++; 47 } 48 father[x] = y; 49 } 50 }
并查集简单使用:
假如已知有n个人和m对好友关系(存于数字r)。如果两个人是直接或间接的好友(好友的好友的好友...),则认为他们属于同一个朋友圈,请写程序求出这n个人里一共有多少个朋友圈。
假如:n = 5 , m = 3 , r = {{1 , 2} , {2 , 3} , {4 , 5}},表示有5个人,1和2是好友,2和3是好友,4和5是好友,则1、2、3属于一个朋友圈,4、5属于另一个朋友圈,结果为2个朋友圈。
http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1526
输入包含多个测试用例,每个测试用例的第一行包含两个正整数 n、m,1=<n,m<=100000。接下来有m行,每行分别输入两个人的编号f,t(1=<f,t<=n),表示f和t是好友。 当n为0时,输入结束,该用例不被处理。
对应每个测试用例,输出在这n个人里一共有多少个朋友圈。
5 3 1 2 2 3 4 5 3 3 1 2 1 3 2 3 0
2 1
1 public class Main { 2 public static void main(String[] args) throws IOException { 3 circleOfFriends(); 4 } 5 6 public static void circleOfFriends() throws IOException { 7 int sum = 0; 8 BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader( 9 System.in)); 10 String input = null; 11 while (!(input = reader.readLine()).equals("0")) { 12 StringTokenizer st = new StringTokenizer(input); 13 int n = Integer.parseInt(st.nextToken()); 14 int m = Integer.parseInt(st.nextToken()); 15 16 int[] father = new int[n + 1]; 17 int[] rank = new int[n + 1]; 18 for (int i = 1; i < n + 1; i++) { 19 father[i] = i; 20 rank[i] = 1; 21 } 22 23 for (int i = 0; i < m; i++) { 24 st = new StringTokenizer(reader.readLine()); 25 int a = Integer.parseInt(st.nextToken()); 26 int b = Integer.parseInt(st.nextToken()); 27 union(father, rank, a, b); 28 } 29 30 for (int i = 1; i < n + 1; i++) { 31 sum += rank[i]; 32 } 33 System.out.println(sum); 34 sum = 0; 35 } 36 } 37 38 public static int findSet(int[] father, int x) { 39 if (x != father[x]) { 40 father[x] = findSet(father, father[x]); 41 } 42 return father[x]; 43 } 44 45 public static void union(int[] father, int[] rank, int a, int b) { 46 int fa = findSet(father, a); 47 int fb = findSet(father, b); 48 if (fa == fb) { 49 return; 50 } 51 52 rank[fb] = 0; 53 father[fb] = fa; 54 } 55 }
更多并查集的应用可以参见下面的链接: