有限元法分析工程实际问题的一般过程

1有限元法分析工程实际问题的一般过程

  应用有限元分析工程实际问题的一般过程如图1所示。次过程可以分为三个阶段，即前处理、分析和后处理。

有限元分析的第一阶段是把现实生活中的结构工程问题转化为可供计算机分析的有限元模型。有限元模型的合理性、正确性将直接影响计算分析结果与工程实际之间的距离。这一过程称为有限元分析的前处理过程，通常称为有限元建模过程。

  有限元建模主要包括三方面的内容：一是要构造计算对象的几何模型，即确定所求问题的类型，建立分析对象的力学模型；二是要划分有限元网格，包括单元类型的选择，网格的布局；三是要生成有限元分析的输入数据，主要包括材料与边界条件数据。建立一个符合工程要求的力学模型，不仅要有宽广的力学知识和工程背景知识，还取决

于有限元计算经验的积累和对分析对象来接的深入程度。

有限元分析过程主要是建立各类问题的有限元方程，并求解这些方程。通过单元分析、

整体分析、载荷移置、引力约束即可得到有限元方程，这是有限元分析的核心内容。而对所建立的有限元方程，选择合适的方法求解，也是有限元理论重点内容。

后处理主要包括计算结果的加工处理、计算结果的图形显示、计算结果的打印。它把有

限元分析得到的数据转化为设计人员直接需要的信息，如应力分布状况、结构变形状态等，从而帮助设计人员快速地评价和校核设计方案。

  对于仅适用有限元商用软件解决工程实际问题的技术人员，有限元软件提供一个数值分析的黑箱，其主要工作体现在前处理与后处理两个方面。但是如果没有有限元理论的基本知识，面对软件中许多选择或参数确定会感到束手无策、无所适从、甚至会使数值分析结果完全偏离工程实际，给出错误结论。

2单位位移函数的选取与收敛性分析

2.1选择位移函数的一般原则

 有限元法的分析过程都依赖于假定的单元位移函数或位移模式。在连续体弹性力学有限元法中，一般找不到真实的位移场，所以只能得到近似解答。

 单元的位移函数一般采用以包括若干待定参数的多项式作为近似函数，称为位移多项式。有限项多项式选取的原则应考虑以下几点：

  (1)待定参数是由节点场变量确定的，因此待定参数的个数应用单元的自由度数相同。

(2)对于应变由位移的一阶导数确定的场问题，选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。位移函数中常数项和坐标的一次项分别反映了单元刚体和常应变的特性，当划分的单元数趋近于无穷时，单元趋于无穷小，此时单元应变趋于常应变。而当节点位移是由某个刚体位移引起时，弹性体内不应该有应变，这些特性必须在选择在选择位移多项式中予以体现。同理，对于应变由位移的二阶导数定义的场问题，常数项、一次项和二次项必须完备。

(3)多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完整性阶数高的多项式以提高单元精度(称为单元的完备性)。若由于项数限制不能选取完整多项式，选取的多项式应尽可能具有坐标的对称性(称为几何不变性)。

2.2收敛性

有限元法是一种数值方法，因此应考虑该方法的收敛性问题。有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者，当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。有限元法的收敛条件包括如下四个方面：

(1)在单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。

(2)在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不

依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反应单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。

   (3)在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和缸体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生形变的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。

由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必须带动该单元做刚体位移。如图2所示的悬臂梁，自由端单元跟随相邻单元作刚体位移。由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。

(4)位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对一般单元面而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且烟单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求位移函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样才能保证结构的应变能是有界量。

在实际应用中，要使选择的位移函数全部满足完备性和协调性要求是比较困难的，在某些情况下可以放松对协调性的要求。在工程实践中，非协调单元必须通过“小片试验”后才可使用。

    2.3有限元解的下限性质

       在用有限元位移法求解弹性力学问题时，要应用最小势能原理。根据最小势能原理求解的位移近似解，其值将小于精确解。这种位移近似解称为下限解。

       位移解的下限性质可以解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束的限制，使单元的刚度较实际连续体加大了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度比实际刚度大，求得的位移近似解总体上(而不是每一点)将小于精确解。