线性代数学习笔记——第六章学习指南——二次型与二次曲面

一、学习内容及要求
1. 内容：
§6.1.实二次型

线性代数学习笔记——第七十五讲——二次型及其矩阵表示

线性代数学习笔记——第七十六讲——矩阵的合同

线性代数学习笔记——第七十七讲——用配方法化二次型为标准型

线性代数学习笔记——第七十八讲——用正交变换化二次型为标准型
§6.2. 正定二次型

线性代数学习笔记——第七十九讲——正定二次型的概念

线性代数学习笔记——第八十讲——正定二次型的性质（1）

线性代数学习笔记——第八十一讲——正定二次型的性质（2）

线性代数学习笔记——第八十二讲——二次型的其它类型
§6.3. 曲面与空间曲线

线性代数学习笔记——第八十三讲——曲面方程（1）

线性代数学习笔记——第八十四讲——曲面方程（2）

线性代数学习笔记——第八十五讲——曲面方程（3）

线性代数学习笔记——第八十六讲——空间曲线（1）

线性代数学习笔记——第八十七讲——空间曲线（2）
§6.4. 二次曲面

线性代数学习笔记——第八十八讲——二次曲面的标准方程与图形（1）

线性代数学习笔记——第八十九讲——二次曲面的标准方程与图形（2）

线性代数学习笔记——第九十讲——化二次曲面为标准方程

2. 要求：
（1） 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准型、规范型的概念以及惯性定理；
（2） 会用配方法化二次型为标准形；
（3） 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形；
（4） 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别方法；
（5） 理解曲面方程的概念，掌握二次曲面的标准方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行与坐标轴的柱面方程；
（6） 了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标平面上的投影。

二、重点与难点
1. 重点：
（1）用正交变换化二次型为标准形；
（2）正定矩阵（二次型）的概念与判定；
（3）二次曲面的分类与几何图形。
2. 难点：
(1) 用配方法化二次型为标准型;
(2) 矩阵正定的相关证明；
(3) 二次曲面的标准化。

三、与其他知识点的联系
(1) 矩阵的相似对角化；
(2) 矩阵特征值与特征向量；
(3) 二次曲面是微积分课程中的常见曲面；
(4) 矩阵的正定性在优化理论，数值计算方法、微分动力系统等领域有广泛的应用。