线性代数学习笔记——第二章学习指南——行列式

一、 学习内容及要求
1. 内容:
§2.1. n阶行列式的定义

线性代数学习笔记——第十三讲——行列式的定义

§2.2. n阶行列式的性质

线性代数学习笔记——第十四讲——行列式的性质
§2.3. Laplace定理

线性代数学习笔记——第十五讲——行列式按行(列)展开

线性代数学习笔记——第十六讲——行列式的计算

线性代数学习笔记——第十七讲——伴随矩阵与逆矩阵

线性代数学习笔记——第十八讲——抽象矩阵的可逆性
§2.4. Cramer法则

线性代数学习笔记——第十九讲——克拉默法则
§2.5. 矩阵的秩

线性代数学习笔记——第二十讲——矩阵秩的定义、

线性代数学习笔记——第二十一讲——矩阵秩的等式

 线性代数学习笔记——第二十二讲——矩阵秩的不等式
2. 要求:
(1) 了解行列式的概念, 掌握行列式的性质;
(2) 会用行列式性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式;
(3) 理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵;
(4) 会用克拉默法,了解Laplace定理;
(5) 理解矩阵秩的概念, 掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

二、重点与难点
1. 重点:

(1) 行列式的概念、性质与计算;
(2) 伴随矩阵的概念与性质,矩阵可逆的充要条件;
(3) 矩阵秩的概念与性质。
2. 难点:
(1) 行列式的定义及部分性质的证明;
(2) n阶行列式的计算;
(3) 行列式的Laplace展开;
(4) 伴随矩阵的概念;
(5) 矩阵秩的概念及相关性质。


三、与其他知识点的联系
在线性代数中,行列式、线性方程组、矩阵、向量组等内容相互交错密不可
分,以下是矩阵可逆的一些常见等价命题(设A 为n 阶方阵):
(1) A 可逆;
(2) detA !=0;
(3) AX=0只有零解;
(4) AX=b有惟一解;
(5) A 可以经(行或列)初等变换化成单位矩阵;
(6) A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积;
(7) A 的行(列)向量组线性无关;
(8) 任一n 维行(列)向量均可由A 的行(列)向量组线性表出;
(9) R(A)=n(方阵 A的阶数);
(10) 0 不是A 的特征值.
此外, 行列式是计算矩阵特征值的基础。

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