拉格朗日插值法及应用

拉格朗日插值法

• 快速根据点值逼近函数
• 在取点大于 n n 的情况下解出 n n 次多项式是唯一解。

例如：
∑i=1ni=n(n+1)2 ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2
只需取三个点 (1,1),(2,3),(3,6) ( 1 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 6 ) 即可确定唯一方程。

同理 ∑i=1ni2 ∑ i = 1 n i 2 只需由四个点确定，但可以取三个点来逼近。

作用？
当n很大时，直接带入求出的函数求解。

一般方法

对于 n+1 n + 1 个点对 (x0,y0),(x1,y1)...(xn,yn) ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) . . . ( x n , y n ) ，求一个函数 fi f i ，使得该函数在 xi x i 处取得对应 yi y i 值，而在其他 xj x j 取得 0 0 ,最后把这几个函数线性结合即可。可得：

fi(x)=∏j≠i(x−xj)∏j≠i(xi−xj)∗yi f i ( x ) = ∏ j ≠ i ( x − x j ) ∏ j ≠ i ( x i − x j ) ∗ y i

g(x)=∑i=0nfi(x) g ( x ) = ∑ i = 0 n f i ( x )

求原函数的复杂度为 O(n2) O ( n 2 ) ，单次求值的复杂度为 O(n2) O ( n 2 ) 。

重心拉格朗日插值法

考虑得到的函数：

fi(x)=∏j≠i(x−xj)∏j≠i(xi−xj)∗yi f i ( x ) = ∏ j ≠ i ( x − x j ) ∏ j ≠ i ( x i − x j ) ∗ y i

g(x)=∑i=0nfi(x) g ( x ) = ∑ i = 0 n f i ( x )

不难发现每个 fi f i 计算了重复部分。

设

l(x)=∏i=1n(x−xi) l ( x ) = ∏ i = 1 n ( x − x i )

对于每一个 fi f i
设：

ωi=yi∏j≠i(xi−xj) ω i = y i ∏ j ≠ i ( x i − x j )

则：

g(x)=l(x)∑i=1nωi(x−xi) g ( x ) = l ( x ) ∑ i = 1 n ω i ( x − x i )

求原函数复杂度为 O(n2) O ( n 2 ) ,单次求值复杂度 O(n2) O ( n 2 ) 。

动态加点？
每次增加一个点，一般求法会重新计算一次达到 O(n2) O ( n 2 ) 的复杂度，而重心拉格朗日插值法只需 O(n) O ( n ) 计算 wi w i 即可。

横坐标连续？
不需多次计算 wi w i ，单次求值 O(n) O ( n ) ，预处理逆元的话求原函数也只会 O(n) O ( n ) 。

应用

bzoj4559:成绩比较

求

∏x∑i=1UxiRx（Ux−i）n−Rx−1(Ux≤109,Rx≤102,n≤102) ∏ x ∑ i = 1 U x i R x （ U x − i ） n − R x − 1 ( U x ≤ 10 9 , R x ≤ 10 2 , n ≤ 10 2 )

很显然是一个 n n 次多项式，对于每一个 x x 计算 n+1 n + 1 个点值确定函数，然后带入 Ux U x 计算即可，因为 xi x i 连续，所以时间复杂度 O(n2) O ( n 2 ) 。

bzoj2655: calc

听说结果是次数为 2n 2 n 的多项式，那么先DP出小的点，直接上拉格朗日就行了。

bzoj3453:XLkxc

求

f(n)=∑i=0n∑j=1a+ib∑x=1jxk(k≤123,n,a,b≤109) f ( n ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 1 a + i b ∑ x = 1 j x k ( k ≤ 123 , n , a , b ≤ 10 9 )

虽然看上去很复杂，其实拆开并不复杂。
首先:

∑x=1jxk ∑ x = 1 j x k

是一个 k+1 k + 1 次多项式（二项式定理展开后差分）。

其次：

g(m)=∑j=1m∑x=1jxk g ( m ) = ∑ j = 1 m ∑ x = 1 j x k

是一个 k+2 k + 2 次多项式（同理）。

可以对 g(m) g ( m ) 进行插值求大的 m m 数。

最后:

f(n)=∑i=0ng(a+ib) f ( n ) = ∑ i = 0 n g ( a + i b )

是一个 k+3 k + 3 次多项式（同理）。
再对 f(n) f ( n ) 进行插值就好了。

而且得出了两个结论：
1.每个求和号一般会增加多项式次数1.
2.插值可以嵌套。
特别是第二点，基本上可以在 O(k2) O ( k 2 ) 解决所有跟多项式有关的题。

Code for bzoj3453:

#include
using namespace std;
struct IO
{
    streambuf *ib,*ob;
    int buf[50];
    inline void init()
    {
        ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
        ib=cin.rdbuf();ob=cout.rdbuf();
    }
    inline int read()
    {
        char ch=ib->sbumpc();int i=0,f=1;
        while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=ib->sbumpc();}
        while(isdigit(ch)){i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0';ch=ib->sbumpc();}
        return i*f;
    }
    inline void W(int x)
    {
        if(!x){ob->sputc('0');return;}
        if(x<0){ob->sputc('-');x=-x;}
        while(x){buf[++buf[0]]=x%10,x/=10;}
        while(buf[0])ob->sputc(buf[buf[0]--]+'0');
    }
}io;
const int mod=1234567891,lim=130;
int k,a,n,d;
int fg[150],fy[150],wf[150],fac[150],inv[150];
inline int power(int a,int b)
{
    int res=1;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1)res=1ll*res*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod;
    }
    return res;
}
int DIV;
inline int calc(int *w,int u)
{
    if(u<=lim)return w[u];
    static int l,res,Div;
    l=1,res=0,Div=DIV;
    for(int i=1;i<=lim;i++)l=1ll*l*((1ll*u-i+mod)%mod)%mod;
    for(int i=1;i<=lim;i++)
    {
        res=(1ll*res+1ll*Div*power(((1ll*u-i+mod)%mod),mod-2)%mod*w[i]%mod)%mod;
        Div=1ll*Div*(i-lim+mod)%mod*inv[i]%mod;
    }
    return 1ll*res*l%mod;
}
int main()
{
    io.init();int T=io.read();
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;DIV=1;
    for(int i=2;i<=lim;i++)inv[i]=(-1ll*(mod/i)*inv[mod%i]%mod+mod)%mod;
    for(int i=1;i<=lim;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<=lim;i++)DIV=1ll*DIV*power(1-i+mod,mod-2)%mod;
    while(T--)
    {
        k=io.read(),a=io.read(),n=io.read(),d=io.read();
        for(int i=1;i<=lim;i++){fg[i]=power(i,k);}
        for(int i=1;i<=lim;i++){fg[i]=(1ll*fg[i]+fg[i-1])%mod;}
        for(int i=1;i<=lim;i++){fg[i]=(1ll*fg[i]+fg[i-1])%mod;}
        fy[0]=calc(fg,a);
        for(int i=1;i<=lim;i++)
        {
            fy[i]=(1ll*fy[i-1]+calc(fg,(1ll*a+1ll*i*d)%mod))%mod;
        }
        printf("%d\n",calc(fy,n));
    }
}