匹配问题

 

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最大匹配与完全匹配

匹配是基于无向图的算法，且这个无向图是一个二分图。

二分图：

二分图：对于图中的顶点可以分成俩部分，图的每条边都是横跨俩部分的。

匹配问题的应用：

• 打车匹配

  以上图为例，图中所有的节点被分为了两类，红的是一类，蓝的是一类。

  红的和蓝的之间可以有连接，也就是它们可以做匹配，您可以把红节点看成打车的人，蓝节点看成是开车的司机。

  虽然上图中每一个红节点都和蓝节点有连接，但是在实际生活中，这个条件未必要满足，也就是说，一个点可能只和很少数量的对面的节点有连接。

  比如如果我们把接单的范围限制在5公里以内，尽管北京市有 $10$ 万辆车在跑，和您能产生连接的可能只有七八辆。

  在二分图中，红节点之间，蓝节点之间没有直接的关系。

  图中的每一条连线都可以有一个权重，通常在各个应用中，它们是设计出来的成本函数，或者利润函数。

  这个函数的设计就体现各个公司的领域知识了。

  在二分图中，有一种被称为最大匹配的算法，它满足两个条件，第一是保证节点数量少的一边所有的节点都有匹配，第二个是让整个网络中找到的匹配权重达到最大。

  无论是滴滴打车的问题，还是亚马逊的推荐、交友网站的匹配（男性看成打车人，女性看成出租车司机）、学生选导师，算法复杂度不高于 $M$ 乘以 $N$，都是二分图中的最大匹配问题。

  如果是 $Google、Facebook$ 的广告系统，一个人看到的页面可以有多个广告，假如是 $K$ 个广告，那么复杂度也不过是在 $M$ 乘以 $N$ 的基础上，再乘以一个 $K$，也就是$\Theta (M\ast N\ast K)$。

匹配问题，主要考察：

• 最大匹配：每个顶点只能匹配一次，且只能是有边（弧）连接的俩个顶点。

  最大匹配尽可能使俩边顶点匹配到，但总是有顶点没有匹配到。

• 完全匹配：每个顶点只能匹配一次，且只能是有边（弧）连接的俩个顶点。

  完全匹配是所有顶点都匹配到了。完全匹配一定是最大匹配，但最大匹配不一定是完全匹配。

匹配问题的问题核心，在于最大匹配，是否是完全匹配只需要检测所有顶点是否匹配到即可。

 

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最大流算法

 

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匈牙利

匈牙利算法：

• 从左侧的一个非匹配点出发
• 从右向左走，一直走已匹配的边 —> 匹配边和非匹配边交替出现
• 如果终止于另一个非匹配点 —> 最大匹配数 + 1

 

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基于DFS

 

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基于BFS