最短路径问题——算法总集（待完善）

Problem Description

某省自从实行了很多年的畅通工程计划后，终于修建了很多路。不过路多了也不好，每次要从一个城镇到另一个城镇时，都有许多种道路方案可以选择，而某些方案要比另一些方案行走的距离要短很多。这让行人很困扰。
现在，已知起点和终点，请你计算出要从起点到终点，最短需要行走多少距离。

Input

本题目包含多组数据，请处理到文件结束。
每组数据第一行包含两个正整数N和M(0 接下来是M行道路信息。每一行有三个整数A,B,X(0<=A,B 再接下一行有两个整数S,T(0<=S,T

Output

对于每组数据，请在一行里输出最短需要行走的距离。如果不存在从S到T的路线，就输出-1.

Sample Input

3 3
0 1 1
0 2 3
1 2 1
0 2
3 1
0 1 1
1 2

Sample Output

2
-1

多源最短路径算法

佛洛依德算法

基本思路：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。时间复杂度O（N^2）代码如下：

#include
#include
#include
#define INF 1000000
using namespace std;
int arr[205][205];
int main()
{
    int n,m,a,b,c;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
    
    for(int i=0;i<n;i++){     //初始化
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i==j)arr[i][j]=0;
            else arr[i][j]=INF;
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if(arr[a][b]>c)    //小心数据有坑
            arr[b][a]=arr[a][b]=c;
    }
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    //弗洛伊德算法核心代码
    for(int k=0;k<n;k++){
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                arr[i][j]=min(arr[i][j],arr[i][k]+arr[k][j]);
            }
        }
    }
    
    if(arr[x][y]>=INF)cout<<-1<<endl;
    else cout<<arr[x][y]<<endl;
}
    return 0;
}

单源最短路径算法

迪杰斯特拉算法

算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。时间复杂度O(N^2)，代码如下：

include<algorithm>
#include
#include
#include
#define INF 1000000
using namespace std;
int arr[205][205];
int dis[205];  //表示起点到各个点的距离
bool vis[205];  //记录这个顶点是否被选过
int main()
{
    int n,m,a,b,c;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
       //初始化
        memset(vis,false,sizeof vis);
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                arr[i][j]= i== j ?0:INF;
            }
        }
        
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            arr[a][b]=arr[b][a]=min(arr[a][b],c);
        }
        int x,y,k;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        //记录起始起点到各个定点的距离
        for(int i=0;i<n;i++){
            dis[i]=arr[x][i];
        }
        vis[x]=true;
        //迪杰斯特拉算法核心
        for(int i=0;i<n;i++){
            int Min=INF;
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(dis[j]<Min&&!vis[j]){
                    Min=dis[j];  
                    k=j;  //找到离原点最近的一条最短路
                }
            }
            vis[k]=true;
            for(int i=0;i<n;i++){
                dis[i]=min(dis[i],dis[k]+arr[k][i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dis[y]>=INF?-1:dis[y]);
    }
    return 0;
}

迪杰斯特拉+heap优化算法：

我们首先定义一个数组d，代表我们选定的起点到其他各个点的距离最小值。
然后，将d数组中除了起点以外的所有的元素都赋成INF（无限大）。
然后开始扫描起点所连接的点，找出一个直接距离最短的点，加入已生成的树中，并将连接它们的这条边加入最小生成树中。
然后继续，从已有的最小生成树中的所有点出发，找到一个距离最近的，继续加入生成树
堆优化:
堆优化的主要思想就是使用一个优先队列（就是每次弹出的元素一定是整个队列中最小的元素）来代替最近距离的查找，
用邻接表代替邻接矩阵，这样可以大幅度节约时间开销。时间复杂度为O(nlogn).

邻接矩阵写法：

#include
#define INF 1000000
using namespace std;
typedef pair<int ,int > P;//first表示最短路 //second表示顶点的编号
int arr[10005][10005];
int dis[10005];
bool vis[10005];
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
            //初始化
        memset(dis,INF,sizeof(dis));
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                arr[i][j]=(i==j?0:INF);
            }
        }
        //输入
        int a,b,c;
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            arr[a][b]=arr[b][a]=min(arr[a][b],c);
        }
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        //迪杰斯特拉+heap优化算法核心
        dis[x]=0;
        priority_queue<P ,vector<P>,greater<P> > q;//greater参数将first的值从小到大排序
        q.push({0,x});
        while(q.size()){
            P now=q.top();q.pop();  
            int v=now.second;//取出最短距离的顶点编号
            if(vis[v])continue;
            vis[v]=true;
            for(int i=0;i<n;i++){
                if(!vis[i]&&dis[i]>dis[v]+arr[v][i]){
                    dis[i]=dis[v]+arr[v][i];
                    q.push({dis[i],i});
                }
            }
        }
        
        
        printf("%d\n",dis[y]>=INF?-1:dis[y]);
    }
    return 0;
}

邻接表写法：

#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 10000
using namespace std;
typedef pair<int ,int > P;
vector<P>arr[maxn+5];
int dis[maxn+5];
bool vis[maxn+5];
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        //初始化
        for(int i=0;i<n;i++)arr[i].clear();
        memset(dis,INF,sizeof(dis));
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        int a,b,c;
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            arr[a].push_back({b,c});
            arr[b].push_back({a,c});
        }
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        dis[x]=0;
        //迪杰斯特拉邻接表核心
        priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > q;
        q.push({0,x});
        while(q.size()){
            P now=q.top();q.pop();
            int u=now.second;
            if(vis[u])continue;
            vis[u]=true;
            for(int i=0;i<arr[u].size();i++){
                int v=arr[u][i].first;  //顶点编号
                int cost=arr[u][i].second; //花费
                if(!vis[v]&&dis[v]>dis[u]+cost){//比较
                    dis[v]=dis[u]+cost;
                    q.push({dis[v],v});
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dis[y]>=INF?-1:dis[y]);
    }
    return 0;
}